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1、LSF,5/9/2007线性代数魏福义, 黄燕苹主编北京: 中国农业出版社, 2003. 2 (ISBN 7109-08058-7)习题解(缺习题六题解)06学年第二学期复习题:习题一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29习题二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12习题三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16习题四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5,
2、 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17习题五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17习题七:自己挑选一些题, 写出matlab语句. 7.15必做.这是题文这是题解这是注释习题一1.1 设 ,求及.1.2 计算下列乘积(1) (2) (3) (4) (5) (1)(2)(3) (4) (5) 1.3 设, 问下列各式是否成立?(1)(2)(3)(4)(1) (2) (3)(4) 1.4讨论下列命题是否正确:(1)若, 则;(2)若, 则或;(3)若且, 则.
3、(1)不对. 反例:,但.(2)不对. 反例: 设, 则且, 但.(3)不对. 反例: 设, 则有且, 但.1.5计算:(1),(2),(3)(1)(2)(3)1.6设方阵满足矩阵方程, 证明及都可逆, 并求及.由得, 故可逆, 且.由也可得或, 故可逆, 且.1.7(4)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)(2)(3)(4)可知.(5) (6)1.10设, 求.解.求得,于是.1.11设, 其中,求.1.12 设, (1) 证明;(2) 设，证明(1) (2)1.13 计算下列行列式(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1)(2)
4、(3)(4)(5)(6)1.14 证明下列等式(1) =(ab)3(2) = (1x2)(3) = x+(n1)a(xa) n-1(1)(2)证法二 (3)= 1.15 用克拉默法则解下列方程组:(1) (2) (1) 计算得因为系数行列式, 所以方程组有唯一解.(2) 计算得因为系数行列式, 所以方程组有唯一解.1.16 求下列方阵的逆阵(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(1)套用公式, 得.(2)套用上述公式, 得.(3)得.(4)得. 1.17解下列矩阵方程(1) (2)(3)(1)(2) (3)1.18 设是阶矩阵, 为其转置伴随矩阵, 证明:(1)若, 则(2) .(1)设
5、,则. 如果的第一行元素全为零, 则, 于是. 假设的第一行元素不全为零, 例如, 作如下行初等变换, 得.现, 因此.(2)一般地, , 但. 于是. 从而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立.1.19 设, 利用分块矩阵的乘法, 计算.1.20 若, 证明: .1.21 (选择题) 设A, B为n阶方阵, 则成立.(A) (B)(C) (D)(A)的反例: , 除非.(B)的反例: 若, 则.(D)的反例: .(C)是成立的, 因为.1.22设阶方阵的转置伴随矩阵为且, 求.或1.23 设为阶方阵, 求证可逆, 并写出逆矩阵的表达式.可逆, 且.1.24设分块阵,其中可逆,求.解
6、.验算.OK1.25 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, detA = a, detB = b, C =, 求detC.利用拉普拉斯定理:(定理1.8)在n阶行列式中任取k行(列), 则由这k行(列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和, 等于行列式的值.在中取所在的行, 所得的阶子式只有一个不等于零, 就是. 而的余子式是, 代数余子式是, 其中注意到是偶数. 于是.1.26设,求.注:矩阵或不要用行列式符号:利用第24题的结论1.27 计算下列n阶行列式(1) (2) (3) (1)同第14(3)题.(2)(2)按第一列展开(3)1.28设均为阶方阵且,求.注:.1.29设为
7、阶非奇异(可逆)矩阵,其转置伴随阵为(或),求或 习题二2.1 讨论下列向量组的线性相关性(1) (2) (3) (4) (1) 可见, 故向量组线性相关.(2) 可见, 故向量组线性无关.(3) 可见, 故向量组线性相关.(4)可见, 故向量组线性相关.解法二 现有个维, , 所以给出的向量组线性相关.P53推论2. 任意个维向量线性相关.2.2 求下列矩阵的秩(1) (2) (3)(1) 可见秩.(2) 可见秩.或(3)2.3 求解下列齐次线性方程组(1) ; (2)(3)(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF).
8、 对应的同解方程组为,方程组的解为.(2) 对方程组的系数矩阵作行初等变换, 方程组有唯一零解.(3) 对方程组的系数矩阵作行初等变换得2.4 求一个齐次线性方程组使他的基础解系为由题意, 齐次线性方程组的通解为,或.从中消去, 得即为所求.解法二: 设所求的齐次线性方程组为将分别代入方程组, 得,解方程组(1), 得其中一个解. 解方程组(2), 得其中一个解. 从而得一个满足要求的方程组2.5 求下列非齐次线性方程组的通解(1)(2) (3)(1) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形立刻得到方程组的解(2) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形,立刻得
9、到方程组的解(3) 对方程组的增广矩阵作行初等变换因为, 所以方程组无解.2.6若向量组线性无关,线性相关.试证可由线性表示.线性无关线性无关.线性相关可由线性表示.从而可由线性表示.证法二:线性相关线性相关.线性无关可由线性表示.注意: “Q线性无关, 存在全为0的,使得.”这个说法是有问题的, 因为不管是否相关,这些总是存在的!2.7设线性方程组当等于何值时, (1)方程组有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解. 并求此时方程组的通解.(1)时方程组有唯一解.(2) 时, . 无解(2) 时, , 有无穷多解.2.8 设(1)当为何值时, 向量组线性相关.(2)当为何值时, 向量组线性
10、无关.(3)当线性相关时, 将表示为的线性组合.(1)当时,线性相关;(2)当时,线性无关.(3)现. 设可表示为的线性组合:, 即.则有线性方程组,或.,得. 于是2.9设线性方程组.的解都是的解.试证是的线性组合.方程组与是同解方程组, 它们的基础解系相同, 从而它们的系数矩阵的秩相同, 即向量组和向量组有相同的秩:.设是的一个极大无关组, 则是向量组中的个向量, 因而是线性相关的. 所以可由线性表示, 从而可由线性表示.定理2.1若向量组线性无关, 而向量组线性相关. 则向量可以由向量组线性表示.2.10证明方程组有解的充要条件是.方程组有解.2.11 填空题(1) 设, 当时线性相关.
11、(2) 当时, 向量能由下列向量组线性表示.(3) 已知向量组的秩等于2, 则.(4) 设矩阵, 当时, .(5)设是非齐次线性方程组的解, 若也是的一个解, 则.(6) 设是齐次线性方程组的一个基础解系, 则.(1),当时,线性相关.(2)设有使得, 即,则该方程组的增广矩阵的秩. 于是.(3) ,当时,.(4)当时,(5)给出的是非齐次方程组, , 所以(6)线性方程租的基础解系含个解向量(是系数矩阵的秩). 现, 于是, 这说明方程组有一个有效方程. 可以是一个行矩阵, 设为. 因为是方程组的解, 所以.解得即知.注意: 本小题答案不是唯一的.2.12 选择题(1)设向量组线性无关, 则
12、下列向量组线性相关的是 都不可选 .(A)(B)(C)(D)(2)在齐次线性方程组中, 若, 则下列结论正确的是.(A)当时,的个行向量线性相关.(B)当时,的个行向量线性无关.(C)当时,的个行向量线性无关.(D)当时,的个行向量线性相关.(3)设向量组线性无关, 向量组线性相关, 则下列结论错误的是.(A) 线性无关.(B)可以表示为线性组合.(C) 线性相关.(D) 线性无关.(4)若非齐次线性方程组有解, 是的个列向量, 下列结论正确的是.() 线性相关.() 线性无关.() 线性相关.() 线性无关.()已知是非齐次线性方程组的两个不同的解, 是对应的齐次线性方程组的基础解系, 为任
13、意常数, 则方程组的通解是.(A)(B)(C)(D) (6)设为阶方阵, 且是的两个不同的解向量, 则的通解为. (A) () (C) () (1)没有一个可选.(A)不是线性相关的, 因为(B)不是线性相关的, 因为(C)不是线性相关的, 因为(D)不是线性相关的, 因为(2) 设, 有. 于是. 故选的个行向量先行相关.(3)由线性无关可知线性无关. 故(A)不可选.由线性相关且线性无关可知可由线性表示(定理2.1若向量组线性无关, 而向量组线性相关. 则向量可以由向量组线性表示.) 故(B)不可选.由线性相关可知线性相关. 故(C)不可选.上面确认了是线性相关, 故选(D).(4) 注意到, 可知(A)成立(5) 由是齐次方程组的基础解系知的基础解系一定含有两个线性无关的解向量(这两个向量一定是非零向量).向量组是线性无关的, 可作成一基础解系. 但不是非齐次方程组的特解, 因为. 故不可选(A)线性无关故可作成一基础解系. 且是非齐次方程组的一个特解, 因为. 故选.不是齐次方程组的解, 因为. 故不可选(C).不能保证与,
