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1、复合函数零点问题、基础知识:1、 复合函数定义： 设 y f t ， t g x ， 且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是 x 的复合函数，记为 y f g x2、复合函数函数值计算的步骤：求y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知 f x2x, g xx2x ，计算 g f 2解： f 222 4 g f 2 g 4123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 x 的值。 例如： 已知 f x2x ， g xx22x ，若 g f
2、x 0 ，求x解：令 t f x ，则 g t 0 t2 2t 0解得 t 0,t 2当 t0fx02x0 ，则x当 t2fx22x2 ，则x1综上所述： x 1g f x 0 的根，则需要先将f x 视为整体，先求出f x 的值，再求对应 x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、 函数的零点： 设 f x 的定义域为 D ， 若存在 x0 D ， 使得 f x00 ， 则称 xx0为 f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程 g f x 0根的个数，在解此类问题时， 要分为两层来分析， 第一层是解关于f x 的方程， 观察有几个f x 的值
3、使得等式成立； 第二层是结合着第一层 f x 的值求出每一个f x 被几个 x 对应， 将 x 的个数汇总后即为g f x 0 的根的个数6、求解复合函数y g f x 零点问题的技巧：(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f x ,g x的图像(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f X的方程g f x 0中f x解的个数，再根据个数与f x的图像特点，分配每个函数值fi x被几个x所对应,从而确定fi x的取值范围，进而决定参数的范围复合函数:典型例题1 :设定义域为R的函数f,x若关于x的方程1,x 1f2x bf x c0由3个不同的解l r 2x1, x
4、2 , x3 ,则 x12X22X3例2:关于x的方程3 x2 120的不相同实根的个数是(A. 3B. 4C. 5D. 8例3:已知函数 f(x)1 ,2,、一 |,关于X的方程f (x) xa f (x)(a,b R)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是例4 :已知定义在R上的奇函数，当x0时，f方程6 f x0的实数根个数为(A.B.C.5:若函数2ax bx c有极值点2f x 2af x0的不同实根的个数是A.例6:已知函数x2 4x的实根，则实数b的取值范围是(A. 2,0B.1,02f x,xD.Xi,X2 ,且 f2, 1C.bf0,1Xix1,则关于x的方程D.0恰有七个不相
5、同0,2例7:已知函数f xX2q,若关于x的方程f x emf xm 1 0恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（A. -,2 U 2,e B. 1,1 C. ee1,1D.1-,e e例8:已知函数f xax 1,x 0 一 .、， 一，,则下列关于函数y f f x 1的零点个数log2x,x 0判断正确的是（）A.当a 0时，有4个零点；当a 0时，有1个零点B.当a 0时，有3个零点；当a 0时，有2个零点C.无论a为何值，均有2个零点D.无论a为何值，均有4个零点例9 ：已知函数f x x3 3x2 1,g xx -22x 31,x 01,x 0则方程g f x a 0 （
6、 a为正实数）的实数根最多有 个例10：已知函数y2,2的图像如下，给出下列四个命题:(1)方程f g x(3)方程f f x0有且只有6个根（2）方程g f x0有且只有3个根（4）方程g g x0有且只有4个根0有且只有5个根V- AJt)&-息工)则正确命题的个数是（）A. 1B. 2 C. 3 D. 41 ,x 1例1：设定义域为R的函数fx |x 1|，若关于x的方程1,x 1L 2L222f x bf x c 0 由 3 个不同的解 x1,x2,x3,则 x x2 x3 思路：先作出f x的图像如图：观察可发现对于任意的y0,满足y0 f x的x的个数分另1J为2个(yo0,yo1
7、 )和3个(y01 ),已知有3个解，从而可得f x 1必为f2 x bf x C 0的根，而另一根为1或者是负数。所以f xi1,可解得：222x10,x21,x32 ,所以 X x2 x35答案：5n2n例2：关于x的方程 x2 13 x2 12 0的不相同实根的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将x2 1视为一个整体，即t xx2 1 ,则方程变为t2 3t 2 0可解得:t 1或t 2,则只需作出t x即可，共有5个答案：C例3:已知函数 f(x)2 .x 1的图像，然后统计与t 1与t 2的交点总数|x1|,关于x的方程f2(x) a f (x) b 0 x(a,b
8、R)恰有6个不同实数解，则 a的取值范围是思路：所解方程f2(x) a|f (x) b20可视为f x a f x b 0,故考虑作出f x的图像:2,x 1 x2x,0 x2x, 12 一，x x有6个不同实数解,则必有flx 2,0f2 x解得答案:例4:已知定义在R上的奇函数，当x0时,方程6 f x0的实数根个数为（A. 6B.C.思路：已知方程f x 1 0可解,则|f x I的图像如图，由图像可知，若2 ,所以af1 xf2 x 2,4 ,1数可先3与y做出x的交点个数即可。由奇0的图像，x 2时，则x 2,4的图像只需将0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函
9、数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有 7个交点答案：B2x 1 1,02fxD.,x得flx1一,只需统计3小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。若函数f x2ax bx c有极值点 x,x2，且f x1x1,则关于x的万程2af x0的不同实根的个数是（A. 3思路:3x22ax .一2b由极值点可得：Xi,X2为3x察到方程与23 f x 2af x b 0结构完全相同,所以可得3 f x2af x b 0 的两根为 f1 x x1, f2 xX2，fi xxi ,若xix2 ,可判断出xi是极大值点，x2是极小值点f2 xx2xif x1所以yf1
10、x 与 fx有两个交点,而f2 x与f x个交点,共计3个；若xix2可判断出x1是极小值点x2是极大值点f2 xx2xif x1所以yfi x 与 fx有两个交点,而f2 x与f x个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6:已知函数x2 4x 3若方程fbfc 0恰有七个不相同b的取值范围是（的实根，则实数)A.个B思路:答案:例7:已知函数f x若关于x的方程f2mf0恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（A. i,2e2,eB.li eC.i,iD.思路：fx-x ei一,e ex 0时,在i,单调递减，f且当f x正半轴为水平渐近线；当x 0时，f x x 1e，所
11、以f x在 ,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于f x的方程2f x mf x m10中，f1x,从而将问题转化为根分布问题，设,则 t2 mt1 0的两根tl0,1 e，t2g 00g tt2 mt m 1 ,则有 ig -0em 1 011，解得m m 1 0 ee一 1m 1,1 - e答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8:已知函数f xax 1,x 0,则下列关于函数 y f f x log2x,x 01的零点个数判断正确的是（）A.当a
12、 0时，有4个零点；当a 0时，有1个零点B.当a 0时，有3个零点；当a 0时，有2个零点C.无论a为何值，均有2个零点D.无论a为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程 f f x1的解的个数，先作出 f x的图像，直当a 0时,线y ax 1为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。图像如图所示，先拆外层可得f1 x21一 .一 0, f2 x ，而f1 x有两个对应的x , a2f2 x也有两个对应的x ,共计4个；当a0时，f x的图像如图所示，先拆外层可311一得f x 一,且f x 一只有一个满足的x,所以共一个零点。结合选项，可判断出22A正确答案：A已知函数f xx3 3x21,g xx 11 x,人22x 31,x0，则方程g f x a 0 （ a
