特征值与特征向量

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1、选修4-2矩阵与变换2.5特征值与特征向量【学习目标】1、掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。2、会求二阶矩阵的特征值与特征向量。3、 利用矩阵A的特征值、特征向量给出 Ana简单表示。【课前预习】：一、预习：（一）阅读教材，解答下列问题：问题、根据下列条件试判断是否与共线：M=30 ，非零向量=鬥M= 3 ，非零向量a = f2 刁1可_0，_11 0 1M=1 ，非零向量a0 2 一归纳定义: 特征值：特征向量：特征多项式:练习：求出矩阵A=0 I的特征值。探究：矩阵A= 10卫一1 _01的特征向量是什么？怎样从几何直观的角度加以解释？请同学们互相交流各

2、自探究的成果。【学习过程】：例1求矩阵M尽的特征值和特征向量。23练一练：求出下列矩阵的特征值和特征向量:(1) A斗 2；(2) B-1 ；(3) C=J 4-0 2 一方法提炼：0 a)例2、求矩阵A =的特征值及其对应的所有特征向量。& 0丿方法提炼；12i例3、已知M= I -试计算心。练一练：求投影变换矩阵o o_=M的特征值和特征向量，并计算M 200 3的值，解释它的几何意义。方法提炼:【课堂小结】【课后作业】：1. 下列关于矩阵 A的逆矩阵、特征值的结论正确是 (A) det(A)丰0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值(B) det(A)工0时，不一定有逆矩阵，也不一定有特征值(C) det(A) 0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值(D) det(A) v 0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值2. 证明：若是矩阵M对应于特征值 入的特征向量，则k (k = 0)也是矩阵M对应于特 征值入的特征向量。2 23设是矩阵A的一个特征值，求证：是A的一个特征值。若A2 = A。求证A的特征值为0或1。444. 设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，求证： 是An的属于特征值 n的一 个特征向量。3 2、5. 设A=，求A的特征值及所有的特征向量。4 1丿6.已知矩阵A =向量Lf4 求A3?J6丿