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1、高中数学北师大版（必修1）专题八 对数一、重点知识归纳及讲解1、对数的概念一般地，如果a(a0且a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数即（a0，a1，N0）说明：对数记号logaN只有在a0且a1，N0时才有意义因为若a0，且a1）logaa=1；loga1=0，.（2）运算性质： 设a0，a1，M0，N0，则： loga(MN)=logaMlogaN； logaMn=nlogaM（nR）； .3、对数的换底公式设a0，a1，b0，b1，N0，则.二、典型例题剖析例1、求下列各式中x的取值范围：（1）lg(x10)
2、；（2）log(x1)(x2)；（3）log(x1)(x1)2例2、（1）已知log427=a，log52=b，用a、b表示lg2、lg3.（2）已知log67=a，3b=4，用a、b表示log127.例3、（1）计算.（2）计算例4、设lgalgb=2lg(a2b)，求log2alog2b的值.例5、设x、y均为正数，且，求lg(xy)的取值范围.例1、解析：（1）由题意有x100，则x10即为所求.（2）由题意有即x1且x2.（3）由题意有解得x1且x0，x1.例2、分析：已知对数式与求值的对数式中的底不同，一般考虑用换底公式如（1）中可将已知条件中对数换成以10为底的对数，即可出现含lg
3、2，lg3的关系式；（2）中则先将log127变形成以6为底的对数，再结合已知条件考虑将log612换成以3为底的对数即可解答：点评：换底公式在解决形如例（1）这一类问题中起了重要作用，但在运用换底公式时应根据题设条件，适当选择底数进行变化，则能进一步简化运算例3、解答：（1）原式（2）原式小结：（1）准确地掌握对数的运算法则是正确地进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数进行运算的优越性.（2）对数恒等式，换底公式，及换底公式的推论知等，若能掌握，对计算或化简会带来很多方便，此外，对数式与指数式的互换对解题也会有很大帮助
4、例4、分析：所求对数式可化为因此，若能从已知条件中求出的值，则此题即可解决而题设条件是关于a、b的对数式，还原成指数式后，即得到关于a、b的关系式，从而求的值解答：由lgalgb=2lg(a2b)，得：a0，b0，a2b，且lgab=lg(a2b)2. ab=(a2b)2=a24ab4b2. a25ab4b2=0， a=b或a=4b.当a=b时，a2b5或a2B2a5 C2a3或3a5D3a0，且a1，x、yR，且xy0，则下列各式不恒成立的是（）AB CD5、如果方程(lgx)2(lg2lg3)lgxlg2lg3=0的两个根为x1，x2，那么x1x2的值为（）Alg2lg3Blg2lg3 C
5、D66、（）A25B15 CD7、(log43log83)(log32log98)的值为（）AB CD不同于A、B、C的其它数8、以为边长围成三角形，下述结论正确的是（）A不能围成三角形 B可围成锐角三角形C可围成钝角三角形 D可围成直角三角形9、若log8alog4b2=5，且log8blog4a2=7，那么log2(ab)的值为（）A9B5 C3D110、某企业的年产值每年比上一年增长p%，经过n年产值翻了一翻，即为原来的2倍，则n等于（）A2(1p%)Blog(1p%)2 Clog2(1p%)D2log2(1p%) 二、填空题11、已知=_.12、设f(x)=logax（a0，且a1），
6、若f(3)f(2)=1，则f(3.75)f(0.9)= _.13、若lg(xy)lg(x2y)=lg2lgxlgy，则=_.三、解答题14、已知二次函数f(x)=(lga)x22x4lga的最大值为3，求实数a的值.15、设3x=4y=6z=t1.（1）求证：； （2）试比较3x，4y，6z的大小.16、设M=0，1，N=11a，lga，2a，a，是否存在a的值，使得MN=1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.答案及提示：1-10 AACBC CBDCB1、a=log32，故log382log36=3log322(1log32)=3a2(1a)=a2.3、根据对数的概念有4、注意到xR，
7、yR，xy0的条件，x、y可同时为负，故不一定成立5、x1、x2是方程的根， lgx1lgx2=(lg2lg3)=lg6.6、利用换底公式和恒等式化简即可算出结果7、原式8、计算知a=5，b=12，c=13，且52122=132，故选D9、利用换底公式和对数运算法则即可得结果。10、设原产值为a，经过n年后产值为a(1p%)n，由题设a(1p%)n=2a. (1p%)n=2， n=log(1p%)2. 11、答案：2提示： a=4，12、答案：3提示：因.13、答案：2 提示：由已知条件得lg(xy)(x2y)=lg(2xy)， 即 (xy)(x2y)=2xy. 化简得x2xy2y2=0.两边同时除以y2得14、解答：，由已知，f(x)的最大值为3. lga1， lgt0，故要比较3x、4y、6z的大小，只要比较的大小即可即6z4y，同理4y3x， 3x4y6z16、解答：假设存在a的值，使MN=1，则1N若11a=1，则a=10，这时lga=1，这与集合中元素的互异性矛盾， a10.若lga=1，则a=10， a10， lga1.若a=1，这时N=10，0，2，1，MN=0，1与题设矛盾，a1.若2a=1，则a=0，lga无意义.使MN=1的a不存在
