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1、3不完全信息静态博弈3.1简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。如在拍卖商品或工程招投标中。信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”(privateinformation)。在博弈论中，习惯地将局中人的“私人信息”集
2、中表现为局中人的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。3.2理论:静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在1967年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。Harsany(i1967、1968)提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的局中人一一“自然N”。N首先行动，决定每个局中人的特征。每个局中人知道自己的特征，但不知道其他局
3、中人特征。这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N的行动选择，第二阶段是除N外的局中人的静态博弈。这种转换被称为“Harsanyi转换”它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故常将支付函数等同于类型。用e表示局中人,的一个特定类型，h表ii示局中人i所有可能类型的集合，即eeh，称h为局中人i的类型空iii间，i=1,n不完全信息静态博弈中，局中人的类型存在多种可能，因而与局中人相关的各种概念都随其类型的不同而不同。局中人的行动空间ai将随类型e而变化，即A=A(e)。支付函数也是类型依存的，可将其ii
4、ii记为：u=u(a，,a，,a,e)i=1,n。ii1ini该式给出的是在其他局中人已选定行动a，j=1,n，j丰i时，j局中人选行动aeA(e)获得的支付。显然给定a时最大化u的a与eiiijiii有关，即a*=a*(e)，其中a*是给定a时最大化u的a。iiiijii用“类型依存”来描述包括最优战略在内的相关概念与类型的对应关系。对局中人i,他不知道其他局中人的类型。当他选择行动aeA(9)iii时，如果给定其他局中人类型与其最优战略a的一个对应组合a*(9)，jjjj丰i，j=1,n，其支付为：u(a*(9)a*(9),a,a*(9)*(9),9)。i11i-1i-1ii+1i+1nn
5、i假定局中人i认为其他局中人的类型组合恰好为9的概率为-ip99)。即局中i-ii记事前的分布密度为P(9，9，,9)，称为“先验概率”i1in人在博弈之前掌握的知识使其对999的取值可能性判断。显然，1inP9p)就是一种条件概率的概念，即当局中人i的类型为9时，他认i-iii为9取值9的概率为-iip6pLP(9,9-i)lTIP(9)i二P(9,9)YP(9-,9)-ii9eH-i-i这是概率论中著名的贝叶斯公式(Bayesequition)。因为i不知道9，我们这里用vonNeumannMorganstern-i效用函数刻画这种不确定下的支付函数，即i的期望支付为工P(901(a*(9
6、),a,9)iiiiiii9-i显然，最大化上式的a就是i的最优战略a*，它与9有关，故iiia*二a*(9)。iii满足a*i当存在一组“类型依存”的最优战略a*二(a*,a*,a*)，1ineargmaxYP919)u(a*(9),a,9)i=1,ni-ii-i-iiiaeA(9)iii9-i则称a*是一个(纯战略)纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡(BayesNashequilibrium)。a*是类型依存的，即a*二a*(9)。ii为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个局中人掌握的关于(0，,e)的分布密度知识是相同的，即概率分布密度p(o，,e)是所1n1n有局中人的共同知识。这被称为Ha
7、rsanyi公理。这一公理表明所有局中人有关自然行动的信念(belief)是相同的。贝叶斯纳什均衡(也简称贝叶斯均衡)是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。有时也称不完全信息静态博弈为静态贝叶斯博弈或贝叶斯静态博弈。n人静态贝叶斯博弈的战略式表述：局中人类型空间H，,H；条件概率P，,P；战略空间1n1nA(0)，,A(0)；支付函数u(a，,a,0),u(a，,a,0)。i知道0。用11nn11n1n1nniG=A，,A,0，,0,P，,P,u,u表示该博弈。1n1n1n1n博弈顺序为： 自然n选0二(0,.,0),0eH，局中人i观察到0，但局中人j丰i1niii仅知
8、道P(010)，不能观察到0。j-jji n个局中人同时选行动(战略)a二(a，,a)，aeA(0)。1niii i得到支付=1,n。i1ni该定义不排除局中人j可能拥有关于局中人i类型的某种信息，而当所有局中人类型空间只有一个元素时,不完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈。同时，这里假定A(0)和u(a,a,0)本身是共同知识，即尽管其他iiii-ii局中人不知道i的类型0，但他们知道i的战略空间和支付函数是如何i依赖于他的类型的，即当他们知道0时，就必然知道A()和u()。iiin人不完全信息静态博弈G=a，,A,0，,e,P，,P,u,u的1n1n1n1n纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类
9、型依存战略组合I*(0/，满足：iii=1a*(0)eargmax工P010)u(a*(0),a,0)i=1,nii(0)iiiiiiiiiii有限博弈的不完全信息静态博弈至少存在一个贝叶斯纳什均衡。纯战略只是一个行动a如何依类型0而变的规则，不是指一个具ii体的结果。例市场进入博弈一个完全垄断企业B正垄断着一个行业的市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A,称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵见下表。市场进入博弈B高成本低成本默认斗争默认斗争40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000
10、,400进入不进入假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的,则当B为高成本时,唯一的精炼纳什均衡为(进入,默认),另一纳什均衡(不进入,斗争)是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争),即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为p，则A认为B为低成本的概率为1P。如果A进入，其期望支付为P(40)+(1P)(10)如果1不进
11、入，其期望支付为0。当且仅当P(40)+(1P)(10)0或P5时，A选择进入；反之，当p-；5(进入，斗争)，低成本，P1；5(不进入，*)，P15其中*表示可以是斗争，也可以是默认。例不对称信息(asymmetricinformation)下的古诺竞争市场中有两个企业。市场需求:P(Q)=aQ,Q=ql+q2企业1成本:C1(q1)=cq1.企业2成本：以概率e取C輕2=cq以概率1-e取C2(q2)=cq。企业2的产量依赖于成本:max(a-q1*-q2)-cHq2和max(a-q1*-q2)-cLq2企业1选择q1maxQ(a-q-q2*(cH)-cql+(1-0)(a-ql-q2*(
12、cL)-cql一阶条件(a-q(a-qi*-ch)-2q2*(cH)=01*-cl)-勾2)=0e(a-q2*(cH)-c+(1-e)(a-q2*(cL)-c-2q1*=0解出q2*(cH)=a2c+c10/+h(cH-cL)q2*(cL)=a2c+cL3cL)a2c+0c+(10)cHL33.3应用例1信息不完全的性别战克丽斯歌剧拳击歌剧2+t，1c0，0拳击0，01,2+tp帕特类型空间:T=T=0,xcpc时，克丽斯选择歌剧,否则选择拳击.c当tpp时，帕特选择拳击,否则选择歌剧.p克丽斯的期望收益看歌剧：p(2+1)+(1-P)x0=P(2+1)xcxxc看拳击：Px0+(1-P)=1
13、一匕xxx选择歌剧最优P(2+1)1一匕xx即t兰一3cP因此临界值c=x-3P帕特的期望收益看拳击：(1一)x0+C(2+1)=(2+1)xxpxp看歌剧：(1-C)+Cx0=1-Cxxx由选择拳击最优t-3C临界值p=-3c解得和p=cp2+3p一x=0.克丽斯选择歌剧的概率xx帕特选择拳击的概率xp=i3+片丿9+4xx2x1_-3+常9+4xfi_12x3这正是完全信息下性别战博弈的混合战略纳什均衡例2拍卖（anauction）拍卖方式最为流行的拍卖方式有4种：英式（增价公开）拍卖，荷兰式（减价公开）拍卖，一级价格密封拍卖（first-pricesealedauction）,二级价格密
14、封拍卖（second-pricesealedauction,又称Vickrey拍卖）。从形式上说前两种是公开拍卖，后两种是密封式拍卖；从实质上来说，英式拍卖和二级价格拍卖是（第）二价拍卖,其余两种是（第）一价拍卖。（1）英式拍卖：卖者以一个价格（可能很底）起拍，并逐步提高这个价格。如果一个投标者放弃了，就不能在后面再参与拍卖。当拍卖只有一个竞拍者时，他就是获胜者，并支付该时刻的价格。（2）荷兰式拍卖：卖者以一个价格（高）起拍，并逐步降低这个价格，第一个应拍的竞拍者以该时刻的价格获取拍卖品。（3）一级密封拍卖：每个竞拍者拿出一个密封的竞价交给出售者。出价最高者获胜并支付这个最高的价格。（4）二级密封拍卖：与一级密封拍卖唯一不同的是，出价最高者获胜但支付的第二高的竞价。尽管英国式拍卖和第二价格拍卖看起来很不相同，但从它们如何引导参与人理性决策来说，效
