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1、任意四边形、梯形与相似模型4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:D4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 174- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17S1: S2 = S4: S3或者 S S3 =S2 S4 AO : OC =S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报
2、竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【分析】根据蝴蝶定理求得 Saod =3 1-2=1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平 方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积；（2）
3、AG:GC= ?4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 174- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【解析】根据蝴蝶定理，Sbgc 1=2 3，那么Sbgc=6 ；根据蝴蝶定理，AG:Gj：1 2:36 =1:3 . （?）4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1，且A0 =2，D0 =3，那么CO的长度是DO的长度的 倍。34- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【解析】在本题中，
4、四边形 ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件SABD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定
5、理解决问题。解法一 ：T AO : OC =Sabd：sbdc -1:3 ,0C=2 3=6 ,OC:OD =6:3 =2:1 解法二：作 AH _BD 于 H , CG_BD 于 G S.ABD = S.BCD ,1 AH CG ,3-S Aod S Doc ,1 AO CO ,30C=2 3=6 , OC:OD =6:3 =2:1 【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 0点，ACEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是 2、4、4和6。求：求 AOCF的面积；求 AGCE的面积。【解析】根据题意可知， BCD的面积为2 4 4 16，那么 BCO和 CDO的面积都是16亠2 =8
6、 ,所以AOCF的面积为8-4=4;由于 BCO的面积为8, BOE的面积为6,所以AOCE的面积为8-6=2 ,根据蝴蝶定理，EG：FG =S-coe：Scof =2:4 =1:2，所以 S.gce：S.gcf = EG : FG =1:2 ,1 12那么 S gceS ceF 2 二1+2334- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？D4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【解析
7、】 在L ABE，LCDE中有.AEB = . CED，所以L ABE，LCDE的面积比为(AE EB) :(CE DE)。同理有 LADE , L BCE 的面积比为(AE DE)：(BE EC)。所以有 Sabe xScde = Sade xSbce，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即Sabe 6= Sade 7 ,所以有L ABE与L ADE的面积7G比为 7:6 , Sabe =39 =21 公顷，Sade =39 =18 公顷。6+76+7显然，最大的三角形的面积为21公顷。1，则图
8、中阴影三角形的面积【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是为。【解析】连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：1 4 -2 , ACD的面积为:24 .ABD的面积为：21=3 .24 412所以 BO: 0D = S abc : S acd 2:3.5 4:7，所以 S aboS abd3 = 4+711113 ? _1 =3.5 ,2【巩固】1，求三角形 ABC的面积。5 510【解析】因为 BD:CE =2:5，且 BD /CE，所以 DA:AC=2:5 , SABc 二一, SDB- 2 =昱.2 + 577【例6】(2007年人大
9、附中考题)如图，边长为1的正方形 ABCD中，BE=2EC , CF二FD，求三角形 AEG4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】的面积.连接因为因为BE =2EC ,CF =FDS aedABCD所以S def，根据蝴蝶定理,111=()S ABCD232江1 1 AG:GF :2 12二 6:1 ,ABCD .6 1S ABCD74 L_ _1S AGE =S AED - S AGD =? S|_ABCD2 即三角形AEG的面积是-.7所以所以S agd =6S g DFS14 -ABCD .32S ABCD S ABCD
10、14 -7 -如图，长方形 ABCD中, 方形ABCD的面积.连接AE，FE .因为 BE: EC =2:3 , DF、 1 因为Sa长方形ABCD ,方厘米.因为 Safd如图，已知正方形 形BDG的面积.BE:EC =2:3， DF : FC =1:2:FC =1: 2 ,AG:GF J三角形DFG的面积为2平方厘米，求长所以S def1 5:1 2 101S长方形ABCD , 所以长方形6ABCD的边长为10厘米,1 1)S长方形ABCDS长方形ABCD 210所以Sagd =5Sgdf -10平方厘米，所以SafdABCD的面积是72平方厘米.=12平E为AD中点，F为CE中点，G为B
11、F中点，求三角设BD与CE的交点为0，连接BE、 DF .1由蝴蝶定理可知 EO:OC二S BED : S BCD , 而 S BEDABCD , S BCD4-1S2 S ABCD ,4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 171所以 EO:OC 二Sbed：Sbcd =1：2，故 E0 二EC 31由于 F 为 CE 中点，所以 EF EC，故 EO:EF=2:3 , FO:EO=1:2 21 1由蝴蝶定理可知 S BFD : S BED = FO ： EO =1:2，所以 S BFD S BED S ABCD ,- 2 8 11 1 、那么 S_bgdS bfd S
12、 abcd10； 10 =6.25 （平方厘米） u 2 - 16 - 16【例9】如图，在AABC中，已知M、N分别在边 AC、BC上，BM与AN相交于O,若.AOM、厶ABO和BON的面积分别是 3、2、1MNC的面积是 4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 174- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得S mon =Sao7.鑒二工S営ob22设S mon -X，根据共边定理我们可以得解得 x=22.5.S ANM _ S ABMS MNC SMBC【例10】（2
13、009年迎春杯初赛六年级）正六边形AA2AA4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.【解析】如图，设B6A2与BA的交点为O,则图中空白部分由6个与 A2OA3 一样大小的三角形组成，只要求出了A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接 AsAb、B6B1、B6A3 设 A1B1B6的面积为” 1 “，则BAB6面积为” 1 “，UAA2B6面积为” 2 “，那么=AeA3B6面积为 1A2B6 的2倍，为” 4 “，梯形A1A2A3A6的面积为2 2 4 2 =12 , A2B6A3
14、的面积为” 6 “，BAzAb的 面积为2 根据蝴蝶定理,B - A3O =S B1A2B6 : S A3A2B6=1： 6，故 S a2 A32所以S a2a3 : S梯形A a2a3a6: 1 2： 1 : 7，即.AOA3的面积 为梯形 AAAA面积的7 ,故为六 边形3人心入民人人面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的 6二-，所以阴影部分面积为41472009： 11-? =1148（平方厘米）I 7丿4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 17板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:4- 2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page # of 174- 2-3任意四边形、梯形与相似
