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1、新编数学北师大版精品资料 复习课(三)概率古典概型此类问题主要考查古典概型的求法，题型既有选择题、填空题，也有解答题，且常与统计等问题综合考查1互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况(2)当事件A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，当事件A与B对立时，P(AB)P(A)P(B)1，即P(A)1P(B)(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P
2、(A)1P()求解2古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏典例柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成双；(2)取出的鞋都是左脚的；(3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双解用A1，A2；B1，B2；C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A1A
3、2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15种(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共12种其概率为P1.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，共3种其概率为P2.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6种其概率为P3.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A1B2
4、，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6种其概率为P4.类题通法在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目1如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B.C. D.解析：选C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1
5、,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.2某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解：(1)由调查数据可知，既未参加
6、书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.几何概型此类问题多以选
7、择题、填空题的形式考查几何概型、概率的求法，属于低档题1几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性2几何概型的概率计算公式：P(A).典例(1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率解(1)记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概率
8、公式得P(A).(2)记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，不妨在过等边BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时就是边长，弦长大于|CD|长的条件是圆心O到弦的距离小于|OF|，由几何概率公式得P(A).即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.(3)记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为，所以由几何概率公式得P(A).即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.类题通法三个题目都是在圆内任意作弦使得弦
9、长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性1在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A. B.C. D.解析：选A不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.2.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D.解析：选B因为f(x)B点坐标为(1,0)，所以C点坐标
10、为(1,2)，D点坐标为(2,2)，A点坐标为(2,0)，故矩形ABCD的面积为236，阴影部分的面积为31，故P.3在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率 ，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp3p1p2 Dp3p2p1解析：选B满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“|xy|”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分对三者的面积进行比较，可得p2p3p1.1一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一
11、个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是()A.B.C. D.解析：选B所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1.选B.2已知直线yxb，b2,3，则直线在y轴上的截距大于1的概率为()A. B.C. D.解析：选D直线在y轴上的截距大于1，则b(1,3，故所求概率P.3从含有a，b，c的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A. B.C. D.解
12、析：选D所有子集共8个；其中含有2个元素的为a，b，a，c，b，c4有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为()A. B.C. D.解析：选A从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P.5已知菱形ABCD的边长为4，ABC150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为()A. B1C. D1解析：选D分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD重合部分的面积
13、为212212，而菱形ABCD的面积为8，所以所求概率为1.6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD km，DC2 km，BC1 km，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是()A. B1C1 D1解析：选B过点D作DFAB于点F，在RtAFD中，易知AF1，A45.梯形ABCD的面积S1(221)1，扇形ADE的面积S2()2，故丹顶鹤生还的概率P1.7从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为_解析：设两名女生为a1，a
14、2，两名男生为b1，b2，则所有可能的结果如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P.答案：8已知集合M1,2,3,4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线yx21有交点的概率是_解析：易知过点(0,0)与抛物线yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P.答案：9任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|y|3中的概率为_解析：基本事件为6636，P(a，b)落在区域|x|
