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1、三角函数最值问题初探 章海涛摘 要：三角函数最值问题是对三角函数基础知识的综合应用,是中学数学的一个重要内容,也是高考中的一个重点.本文归纳总结了三角函数最值问题的几种类型及求解方法,以期对高中数学中知识点的理解及在教学中起到很好的借鉴作用.关键词：三角函数,最值,解法Abstract: Maximum or minimum problem of trigonometric function is a comprehensive application of fundamental knowledge of trigonometric function, an important conten
2、t of middle school mathematics, and a key point in the entrance examination for college. This paper concludes and summarizes several categories and solution methods of maximum or minimum problem of trigonometric function, which are expected to play reference roles in comprehending knowledge points o
3、f senior high school mathematics and in mathematical teaching.Keywords: trigonometric function, maximum or minimum, solution methods目 录1 引言.42 三角函数最值问题的几种类型.42.1 型.42.2 二次函数型.42.3 分式函数型.42.4 基本不等式型.53 求三角函数最值常用的几种方法.53.1 利用拆项观察.53.2 利用三角函数的有界性.53.3 利用三角函数的单调性.63.4 利用三角函数的周期性.63.5 利用辅助角(即,其中).73.6 利用
4、二次函数单调性.73.7 利用隐含条件的功能.83.8 利用基本不等式.83.9 利用导数.93.10 利用判别式.93.11 利用数形结合思想.10结论.12参考文献.131 引言三角函数最值问题是函数最值的一个重要组成部分,也是高考热点之一.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题,或者是隐含在解答题中作为解决解答题所用的知识之一.它既是三角函数知识的延续和再巩固,又是三角公式运用的具体表现.这类问题不仅与三角知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些解析几何知识结合密切.由于其题型变化多样、解法多样,有些解法又有较强的技巧.因此,对于学生而言要熟练掌
5、握这些知识和方法的确有一定的难度.本文试对几种不同形式进行总结,谈谈如何求三角函数的最值.2 三角函数最值问题的几种类型三角函数的最值问题一般有四种类型,分别是型、二次函数型、分式函数型、基本不等式型.当然,有的三角函数最值问题可能形式上不是这四种类型中的一种,但是均可以转化成其中的一种.2.1 型这类函数只含有正余弦函数,并且是一次式.一般地,形如型和型的最值问题均可转化为型加以解决.解决此类问题的指导思想是把正余弦函数转化为只含一种角的三角函数,再利用三角函数的有界性来解决.2.2 二次函数型所谓二次函数型就是将三角函数最值问题转化为二次函数（）在某一区间上的最值问题.典型的是形如和型的函
6、数最值问题.有的函数不是这两种形式中的任一种也可以转化成二次函数型.在解题过程中,有时会用到换元法来简化问题,但需要注意的是换元后新元的取值范围.2.3 分式函数型形如型函数,、是三角函数.这类问题的解决方法需根据三角函数的结构式的特点而定.一般地,从代数、几何两方面入手.代数方法主要是从不等式知识及函数性质方面考虑;几何方法主要是运用数形结合思想,根据三角函数结构式的特点建立几何模型,利用几何意义(斜率、截距等)进行考虑.2.4 基本不等式型将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定理来求解最值,需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此,转化时可能会需要进行合理的拆、添项
7、、凑常数等操作,有时还会用到和等恒等关系式,一般视情况而定.3 求三角函数最值常用的几种方法三角函数最值问题不仅与三角知识密切联系,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些解析几何知识紧密相关.其题型变化多样、解法多样,某些解法有较强的技巧,下面介绍几种常用的求解方法.3.1 利用拆项观察例1 求函数的最值.解 由观察得,所以,于是,从而,即,故,.评注 此题属于分式函数型.解法是由函数构成式的特点而定的.拆项的目的是为了简化研究对象,问题的解决还得借助于其它的工具.3.2 利用三角函数的有界性例2 求函数的最值.解 由反解得,利用即解得,故,.评注 此题属于分式函数型.式中只含有一
8、种角的同一种三角函数,想到反解出这一三角函数.因此,形如和（）型函数都可以先反解出或,再利用或求函数的最值.3.3 利用三角函数的单调性求三角函数的最值时,如果考察其单调性,有时也能容易解决问题.运用这种方法要注意三角函数本身的取值范围,并确定已知函数的单调性.例3 已知（）,求：函数的最小值；函数.解 令,则.原函数可化为,此函数在上为减函数,在上为增函数,所以当即时,.原函数可化为,此函数在上为减函数,即时,.评注 此题实质上属于分式函数型.由函数构成式联想到函数,它在某区间上具有单调性,故可以考虑函数在某区间上的单调性.由函数的构成式特点知还可用均值定理来求解,但形如型的函数求最值,当不
9、能用均值定理,此时适宜用函数在区间内的单调性来求解.3.4 利用三角函数的周期性例4 求函数的最大值.解 因为的周期是,的周期是,所以的周期是,又与的最大值均为1,而在内,满足的值有：,满足的值有：,其中只有可同时满足,故当时.评点 此题属于型.它是一个周期函数,如果知道其周期那么求最值就容易多了.求周期函数的最值只要研究一个周期内的最值即可.两个周期函数的和(或差)函数的周期是它们周期的最小公倍数.3.5 利用辅助角(即,其中)利用这种方法求最值,函数式的特点是含有正、余弦函数,并且是一次式.解决这类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只含一种三角函数.例5 求函数的最值.解 因为,所以当即时,当即时,.评注 此题属于型.此类问题关键在于将不同类的三角函数转化为同一类三角函数,再在定义域内求最值.需注意的是辅助角的具体值不一定要求出来.3.6 利用二次函数利用这种方法求最值,函数式的特点是含有、,并且其中一个是二次的.处理方式是应用,使函数只含有一种三角函数,在应用换元法转化为二次函数来求解,需要注意的是隐含条件的挖掘.例6 求函数的最值.解 因为,令,则.
