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1、磁矩、磁極及地磁場的測定實驗一、目的以MKSA單位系統(meter公尺，kilogram 公斤，seco nd秒，ampere安培), 使用磁強計測量磁鐵的磁矩和磁極強度，並決定地磁的水平強度。二、原理(1) 庫倫定理電學中的庫倫定理告訴我們：兩個點電荷之間的交互作用力大小F與點電荷間距離r平方成反比，而與各自的帶電量Q】、Q2成正比，數學式子表示為 文獻一:KQtQ2F ”？r選擇一個k值，即可定義出一套電量的基本單位，例如在CGS制系統， 取k的大小為1，當F為1達因(dyne), r為1公分時，電量Q1=Q2=1靜庫(e.s.u) 靜庫即為CGS制電量的基本單位。對於 MKSA 制，選擇
2、 k=1/4：；0 =910 9 m / farad，當 F 為9 109牛頓，r為1公尺時Q1=Q2=1庫倫(coulomb)，庫倫即為MKSA系統電量的基本 單位。只要選定K、F、r的值，即可定義出一套新的電量系統，至於為何 MKSA 制的K選為4二；0亠，主要為了配合電場高斯定理文獻一:、:D dS 二；0 ； E dS =Q在封閉區面的面積分裏會出現常數4二，4二是一個球面或封閉曲面所圍之立體角(solid an gle)， ；0 = 8.85 10 2 farad /m是真空的介電常數 (permittivity of vacuum)，對於一個點電荷而言，4二；。r又由於力二(電荷電
3、場)，比較一下庫倫定理和點電荷之電場，即可知若選k=1/4：；0，F = 9 109牛頓，r =1公尺，則Q1，Q2皆為一單位的基本電量(庫倫)，可以證明MKSA制和CGS制電量的關係為1庫倫(coulomb)=3 109 靜庫(e.s.u)。(2) 類似之磁學庫倫定理文獻二、三、四類似於電荷的庫倫定理，兩磁極間的交互作用磁力，與兩磁極間距離r平方成反比，與兩磁極強度乘積成正比，數學式子表示為KR P2 ?2-? rF為兩磁極間的磁力，K為比例常數，P】及P2為兩磁極的強度，r為磁 極間的距離。選擇一個適當的 K，即可定義出一套磁極強度的基本單位。CGS制取法：CGS制選擇K的大小為1，F =
4、 P1P2/R2，在F=1達因(dyne)及r =1公 分(cm)的條件下，Pi及P2磁極強度皆為1個unit pole至於1 unit pole的 詳細單位為何，與K所取的單位有關。若要和以下的 MKSA制比較， 則應取K=1(m/henry)，此時unit pole的詳細單位可化簡為韋伯(weber， Wb)。MKSA取法：MKSA 制選擇，K =1/4二 =107/1&2 m/henry，匚1R F2F厂4叭r2J0 =4二 10 henry/m 為真空的導磁係數(permeability of vacuum)，在F =107/16二2牛頓及r = 1公尺的條件下，則磁極強度P1、P 2
5、皆為1韋伯(weber， Wb)。CGS制之unit pole和MKSA制之韋伯(磁極單位比較)：在MKSA制，兩個大小相等且相距為1公尺的1韋伯磁極所產生的磁 力為107 /16二2牛頓(=1012/16二2達因，若相距為1公分時，磁力增強為1016/16-：: 達因。而兩個相等的unit pole在r = 1公分時磁力僅為1達因，可以想為1個 unit pole的大小遠小於1韋伯，1unit pole = 4二10-8韋伯。CGS制和MKSA制的磁場單位：磁力F為磁極強度P和磁場強度H的乘積，F=PH。在MKSA制，磁場 強度H的單位為N/weber=ampere/m，而1 ampere/
6、m的磁場強度定義為讓1韋伯 的磁極擁有1牛頓磁力所需的磁場強度。CGS制的磁場強度單位 oersted(Oe) 1 oersted的磁場定義為讓1unit pole 的磁極擁有1達因磁力所需的磁場大小。至於oersted和ampere/m之間的換算可 由oersted的定義及unit pole和韋伯的關係導出，dyne 10 ( N1031 oersted = 1 =v | = (ampere/m),unitpole 丿 310 iweber丿 4兀所以MKSA制及CGS制之磁場強度單位換算可由 1(ampere/m)=4 二 10” (oersted得知。三、方法前面提過若兩個磁極強為 P及
7、P則其磁力F=PP7(40r2),如把磁力F寫為磁極強度P 和磁場強度H的乘積，則磁極P 所受之磁場大小為本實驗使用磁強計來測量磁鐵的磁矩Mm(magnetic moment， Mm =2PL，L為磁鐵兩端磁極之距離）及磁極強度P,同時也可求出地磁的磁場強度 He。磁強計為一長行木板，中間有一羅盤，板上且附有米尺刻度。羅盤指針原本 僅受地磁場He的影響，若在羅盤周圍放一個磁鐵，則羅盤指針會因此外加磁鐵 的接近而偏轉。假設外加磁鐵之磁極強度為 P（韋伯），N極處相當於（+P）, S極處 相當於（-P），（+P）和（-P）之距離為2L，磁針中心和磁鐵中心距離為d，選擇磁針 和磁鐵的兩種相對位置，如
8、圖一及圖二所示。磁學中的N極一般為代表正極或北極，S極代表負極或南極。羅盤指針的 N極定義為指向地球北極（即地理上的N極）之磁極。由磁極正負相吸的原理來 想，指針N極之所以會指向地理N極，是因在”地理N極”處具有”地磁S極” 所以對地球而言，地理上的 N-S極剛好和地磁上的N-S極相反。圖一及圖二的縱軸代表羅盤指針的 N-S極或地理上的N-S極，而非地磁的 N-S極。地磁場He的方向為地磁N極至地磁S極（即地理S極至地理N極），如 同在定義電場方向時是由正電極至負電極。d個一）（圖二）（1）Mm/He比值的求法：磁鐵所產生的磁場Ha, Hb均為東西向，而地磁的磁場 He為南北向，圖一的Ha即為
9、羅盤指針中心所受之東西向磁場，而把磁場的 S極想像為一負極，磁力 線流入S極，N極想像為一個正極，磁力線由N極流出，則Ha可由以下式子算 出：Ha1_ PP _ PLd 24=0 d-L d L d2L22Mmd22 227。d -LMm =2PL為磁矩，其MKSA制的單位為(韋伯.米) 圖二的東西向磁場Hb可以下算出：MmHb _ 亠 2PL4叫 d2 L2 d2 L2 1/24id2 L23/2 4od2 L23/2角度a、 b和磁矩M m，地磁He的關係為tan aHed2d2 -L22tan b广血1lHe 丿 4 兀卩(d2 - L2 )20 r广Mm 帀丿故Mm/He比值可利用上式
10、由角度a或角度b求得。Mm/He乘積的求法：上述已求出磁鐵磁矩 Mm及地磁強度He兩個未知數的比值，若欲知其真正大 小為何，還需一個方程式，以下所介紹的方法可求出Mm和He的乘積值。考慮一塊磁鐵在地磁場中作小角度的簡諧振盪，假設磁鐵的磁極強度為P，磁鐵兩端磁極的距離為2 L,如圖三所示。把磁鐵指向偏離一小角度，放手 後磁鐵的回復磁轉矩(recovery magnetic torque) r可寫為5 = r 父己=2】x (pHeb=(2PL Hesin=MmHesiin女口同拉伸彈簧時，彈簧會產生一回復力，此回復力與拉伸量大小成正比，但 方向相反，力方程式可以寫為F = ma = -kxk為彈
11、簧係數。同樣地，磁鐵的簡諧振盪，回復磁轉矩與偏離角度二的大小成正比，方向相反，磁轉矩方程式可寫為1心1 匚-r - -MmHesi n若考慮小角度簡諧運動，則si=二，再把角加速度(angular acceleration換為 d/dt2，則磁轉矩方程可整理為一個角度 (t )的微分方程式：如)+3)=0dt2 i I 丿此微分方程的解為三角函數，二(t)=cosM或sin讥 小括號中的常數MmHe/l2即為角速度(angular velocity)的平方3，而實驗量到的是振盪週期T，其與角速度 的關係為2 兀M m He3 =、T V I磁鐵的磁矩Mm和地磁強度He的乘積則可用磁鐵的轉動慣量
12、l(moment of in ertia )及簡諧振盪週期T表示：Mm He =4：21V(3) 磁鐵轉動慣量I的算法：磁鐵的幾何形狀如圖四所示，旋轉軸通過質心(cen ter of mass並垂直於表面， 如果截面積邊長a和b遠小於長度c,則可視為細的長桿(slender rod,其轉動慣 量形式為I -mc2/12 文獻一，若長度c遠小於長度a和b,幾何形狀為一長 方形薄板，此薄板之轉動慣量形式為I =mc2/12 文獻一。磁鐵的真正轉動慣量形式即為上述兩種極端情形的組合：m(b2 +c2 )I 二12m為磁鐵的質量，長度b和c可由磁鐵外形量得，c為磁鐵的真正總長度， 和前述的磁鐵兩極磁距
13、離2 L雖然不一樣，但相差並不大。(4) 磁矩Mm、磁極P及地磁場He之計算：由(1) Mm/He之比值及之Mm/He乘積即可算出Mm和He的值，而磁 鐵的磁極即可由P=Mm/2L求出。必需注意本實驗採用 MKSA制單位，長度 皆為公尺，質量用公斤，磁極P的單位為韋伯(weber),磁矩單位Mm為韋伯.米(weber. M)，磁場H單位為安培/米 (ampere/m，力的單位為牛頓(N)，計算需用到真空磁導係數(permeability of vacuum)丄0為4二 10(henry/m)。四、儀器所用的儀器包括磁強計、磁鐵、碼錶、軟鐵棒及供磁鐵做簡諧運動之玻璃罩。五、步驟(1)測量角度a及
14、換算Mm/He比值：使磁強計的羅盤指針指向南北，而米尺座長軸指向東西，將磁鐵放置在米尺 座上，讓磁鐵的長軸與米尺座的長軸平行，如圖一所示，磁鐵中心在指針中心右 邊0.2公尺，其S極較接近指針，紀錄此時指針偏離南北方向的角度大小a1。在原地將磁鐵極性反向，讓磁鐵 N極較接近羅盤指針，紀錄偏離角度小 =2 (指 針往圖一的反方向偏)。把磁鐵移到指針左邊0.2公尺，測量磁鐵S極和N極較接近指針時之偏離角 度大小；3及；4。改變磁鐵中心和指針中心的距離分別為0.25公尺，0.3公尺，0.35公尺，0.4公尺，重複前述的步驟，將每個距離各自的 ；1常填入表一，並 用(Mm/He= 2应0(d2-L2ft
15、a n/d的公式算出(Mm/He)比值。在此需注意， 指針歸零或不使用磁鐵時，要將磁鐵放在軟鐵棒上以減少干擾。測量角度b及換算Mm/He比值：將米尺座長軸改為南北向，與羅盤指針同向，磁鐵放於羅盤下方米尺座上0.2公尺處，讓磁鐵長軸與米尺座長軸垂直且磁鐵S極向東，如圖二所示，紀錄指針偏轉角度bi，磁鐵在原處反向，N極向東，紀錄角度b2。把磁鐵放於羅盤上方0.2公尺處，相同的步驟測出當磁鐵的S極及N極向東 時，所產生的偏轉角度b3和b4。改變磁鐵和指針的距離為0.25公尺，0.3公尺，0.35公尺，0.4公尺，將每個,*22 3/2距離各自的1%4填入表二，並用公式(Mm/He)=4咄0(d + L ) tan%算出Mm/He比值，與由角度a所得的Mm/He是否一致？(3)測量磁鐵小角度簡諧運動之週期 T:磁鐵放入玻璃罩的懸掛架上，讓旋轉軸通過磁鐵質心，並垂直於磁鐵表面， 使磁鐵表面，使磁鐵座小角度(1
