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1、.第二章 有理数一、正数和负数正数和负数的概念负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数,也不是负数注意：字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数；当a表示负数时,-a是正数；当a表示0时,-a仍是0。如果出判断题为：带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断正数有时也可以在前面加+,有时+省略不写。所以省略+的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如：零上8表示为：+8；零下8表示为：-83.0表示的意义 0表示 没有,如教室里有0个人,就是说教室里没有人；0是正数和
2、负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如：二、有理数1. 有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数0和正整数统称为自然数正分数和负分数统称为分数正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。注意：引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8也是偶数,-1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 0不能忽视 正分数
3、 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数总结：正整数、0统称为非负整数也叫自然数负整数、0统称为非正整数正有理数、0统称为非负有理数负有理数、0统称为非正有理数三、数轴数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理
4、数与数轴上的点不是一一对应关系。如,数轴上的点不是有理数3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大小数 最小的自然数是0,无最大的自然数；最小的正整数是1,无最大的正整数；最大的负整数是-1,无最小的负整数5.a可以表示什么数 a0表示a是正数；反之,a是正数,则a0；a0表示a是负数；反之,a是负数,则a0a=0表示a是0；反之,a是0,则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的
5、点的位置。四、相反数相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。注意：相反数是成对出现的；相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负；0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2.相反数的性质与判定任何数都有相反数,且只有一个；0的相反数是0；互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；互为相反数的两个数,在数轴上的对应点0除外在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上,表示互为相反数的两个点关于
6、原点对称。4.相反数的求法求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号-即可求得如：5的相反数是-5；求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添-,然后化简如；5a+b的相反数是-5a+b。化简得-5a-b；求前面带-的单个数,也应先加括号再添-,然后化简5.相反数的表示方法一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。当a0时,-a0正数的相反数是负数当a0负数的相反数是正数当a=0时,-a=0,0的相反数是06.多重符号的化简多重符号的化简规律:+号的个数不影响化简的结果,可以直接省略；-号的个数决定最后化简结果；即：-的个数是奇数时,结果为负,-的个数是偶数时
7、,结果为正。五、绝对值绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.可用字母表示为：如果a0,那么|a|=a； 如果a0,那么|a|=-a； 如果a=0,那么|a|=0。可归纳为：a0, |a|=a 非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。a0, |a|=-a 非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|0。即0的绝对值是0；绝对
8、值是0的数是0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即：若|x|=aa0,则x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|,则a=b或a=-b；若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。非负数的常用性质：若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为04.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较
9、,左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小,绝对值大的反而小；异号两数比较大小,正数大于负数。5.绝对值的化简当a0时, |a|=a ； 当a0时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。六、有理数的加减法1.有理数的加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加,和为零；一个数与零相加,仍得这个数
10、。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：+c=a+在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加相反数结合法；符号相同的两个数先相加同号结合法；分母相同的数先相加同分母结合法；几个数相加得到整数,先相加凑整法；整数与整数、小数与小数相加同形结合法。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：当b0时,a+ba 当b0时,a+ba 当b=0时,a+b=a4.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+。5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法
11、混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如：+=-8-7-6+5.和式的读法：按这个式子表示的意义读作负8、负7、负6、正5的和按运算意义读作负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合同号结合法 -+-+原式=-33+ 将减法转换成加法=-33+18-15-1+23 省略加号和括号=+ 把符号相同的加数相结合=-49+41 运用加法法则一进行运算=-8 运用加法法则二进行运算.把和为整数的加数相结合 凑整法 +-+-原式=+ 将减法转换成加法=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 省略加号和括号=+3.8 把和为整数的加数相结合=4-10+3.8 运用加法法则进行运算=7.8-10 把符号相同的加数相结合,并进行运算=-2.2 得出结论.把分母相同或便于通分的加数相结合同分母结合法-+-+-原式=+ =-1+0- =-1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合先统一后结合 -+-原式=+ =+3-3+10-1=+10 =2-3+10 =-3+13 =10.把带分数
