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1、微积分练习册第八章多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1 .填空题:2 2X(1)右 f(x, y) x y xytan,则 f(tx,ty) y22( lim x ( y ( 2、1 cos(x y )2222(x y )x y)若 f(x,y) -则 f(2, 3) ,f(1=) 2xyxr22 若 f(、)亡(y 0),则 f (x) x y(4)若 f(x y,y) x2 y2,则 f (x, y) x(5)函数z的定义域是4x y222ln(1 x y )(6)函数z ：xyy的定义域是(7)函数z arcsin的定义域是 xy2 2x(8)函数z A的间断点是y2 2x2 .
2、求下列极限:0 xy一 xy 4(2) limx 0y 0sin xy(3) limx 0y 03 .证明lim(x,y) (0,0)04 .证明：极限(x,y)m(0,0)2x y42x y5.函数 f(x, y)xsin - x,(x, y) y(0,0)在点(0, 0)处是否连续？为什么0,(x, y) (0,0)习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1 .填空题xzz(1)设 zln tan -,则,yxy设 z exy(x y),则= , xy设u x则-u ,z xy2(1)z(1 xy)y(4)设 z axctan ,贝U z x x(2)u arcsin(x y)zx3 .设z
3、y ,求函数在(1,1)点的二阶偏导数3z &z4 .设 z xln( xy),求一2一和2x y x y(1 1)5 . z e x y ,试化简 x设u (x)z,则一- y x y(6)设f(x, y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limf(a x,b) f(a xb)2.求下列函数的偏导数 -y2 -6.试证函数f (x, y)3xy2，(x, y)x y0,(x,y)(0,0)在点(0, 0)处的偏导数存在，但不连续(0,0)习题8-3全微分及其应用1 .X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px 1000 5Qx;PY 1600 4QY公司X
4、、Y现在的销售量分别是 100个单位和250个单位。(1) X和Y当前的价格弹性是多少？(2) 假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致 X的销量Qx下降到75个 单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：Erx Qx2 Qx1 /PyjPyl)Qx2 Qx1 Py2 Py12.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品 X的需求函数分别为：Da (Pr KaIa)/Px；Db Kb%/Px(1)商品X的市场需求函数；(2)计算对商品X的市场需求价格弹性； 若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商品 X对Y的需求交叉弹性3 .求下列函数的全微分(1) u设s ts t1
5、 一x 二f (x, y, z) (-)z,求 df (1,1,1) y(3) z ln(1 x2 y2),求当x 1,y 2, x 0.1, y 0.2的全增量z和全微分 dz4 .计算J(1.02)3 (1.97)3的近似值习题8-4多元复合函数的求导法则(1)2xu ln v 而 u 一, v y3x 2y,则-zx(2)arsin(x y)而 x3 ,则 dz dt(3)duasin x, z cosx ,贝U dxaxe (y z)2，而 ya 1arctan(xy)，而 y皿dz,贝U dx(5)f (x2 y2,exy),则(6)f(x,xy,xyz),2n(1)2.设3.设4.
6、设5.设7.设f (xy) yf(xy), f具有二阶连续导数,xf(x,-), f具有二阶连续偏导数，求 y2z2 x2xf (2x,-), f ,具有二阶连续偏导数，求 xf (sin x, cosy, ex y), f ,具有二阶连续偏导数，求2z2x与g有二阶连续导数，且 z f (x at) g(x at),证明:2zt222 za -x习题8-5隐函数的求导公式1 .填空题：(1)设 ln x2 y2arctan,贝U dy x dx(2)设 x 2y z 2 xyz 0,则-z ，zxyzyzy一 xzz(4)设 zx yz,则一z x(3)设一in ,则一 zyx22 .设 e
7、zxyz,求x y2、一 343z3 .设 z3xyz a ,求x y4 .设 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z,求一z -z x yz5.设2x2y2y2- 23z，求dy,比20 dx dx6 .设y f (x,t),而t是由方程F(x,y,t) 0所确定的x,y的函数，求dy dx7 .设由方程F(x -,y z) 0确定z z(x, y) , F具有一阶连续偏导数，证明： yxzzxy z xyxy8.设x x(y,z), y y(z,x),z (x, y),都是由方程 F(x, y,z) 0所确定的有连续偏导数的函数，证明：1y z x习题8-6多元函数的极值及其应用1 .
8、填空题：22(1) z x y2xy4xgyz 驻点为22(2) f(x, y) 4(x y)xy 的极 值为,2 2x ,2(3) f(x, y) e (x y 2y)的极 值为(4) z xy在适合附加条件 x y 1下的极大值为 ,_、_2222,一(5 ) u f(x, y) x x y 在D x, yx y 1上的取大值为,最小值为2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形班级：姓名：学号：2 2、3 .旋转抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到该椭圆的最长与 最短距离微积分练习册第八章多元函数微分学4 .某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x (万尾
9、)，乙种鱼放养y (万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3 x y)x,(4 x 2 y)y,(0),求使产鱼总量最大的放养数班级：姓名：学号：5 .设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产函数为Q 2xi x2 ,其中，为正常数，且1，假设两种要素的价格分别为pi和P2,试问：当产出量为 12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册第九章二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题(1)当函数f (x, y)在闭区域D上 时，则其在D上的二重积分必定存在(2)二重积分f(x,y)d的几何意义是 D(3)若f (x, y)在有界闭区域 D上
10、可积，且DD1 D2 ,当f (x, y) 0时，则f (x,y)d f (x, y)d ;DiD2f (x, y)dD2当 f (x, y) 0时，则 f(x, y)d Di(4)sin(x xcos(x y)d 其中D：顶点分别为(0,0), ( ,0),(,)的三角形闭 y2)d ，其中 是圆域x2 y2 42的面积，D16(注：填比较大小符号)2.比较下列积分的大小：I1 (x y)2d与I2 (x y)3d其中积分区域 D是由x轴，y轴与直线 DDx y 1所围成(2)Iiln(x y)d 与 I2Dln(x y)2 d ,其中DD (x, y)3 x 5,0 y 1(x,y)0 x
11、 1,0 y 23 .估计下列积分的值(1) I xy(x y 1)d ,其中 DD I(x2 4y2 9)d ，其中 D (x, y)x2 y2 4D4 .求二重积分,1 x2 y2dx2 y2 15 .利用二重积分定义证明kf(x,y)d k f (x, y)d (其中为 k 常数)DD习题9-2利用直角坐标计算二重积分1 .填空题(1) (x3 3x2y y3)d 其中 D：0 x 1,0 y 1D区域(3)将二重积分f(x,y)d ，其中D是由x轴及上半圆周x2y2 r2(y 0)所围成的闭D区域，化为先y后x的积分，应为1 . 一(4)将一重积分f (x, y)d ,其中D是由直线y
12、 x, x 2及双曲线y (x 0)所围Dx成的闭区域，化为先 x后y的积分，应为 22x x2(5)将二次积分dx 2xf (x,y)dy改换积分次序，应为 sin x(6)将二次积分 dx s.x f (x, y)dy改换积分次序，应用 2121.22(7)将二次积分e2 dy f(x,y)dx 1 dy2 f (x, y)dx改换积分次序，应为(8)将二次积分1dy02yof(x,y)dx33 y1dy 0 f(x,y)dx，改换积分次序，应为2.计算下列二重积分：22 xye d 淇中 D (x, y)a x b, c y dD,22、(2) (x y )d淇中D是由直线y 2,y x
13、,及y 2x所围成的闭区域D(3) yy xdxdy 淇中 D： 1 x 1,0 y 2D ,1 13 .计算二次积分dyexdx0ya y m(a-x)am(a x)4 .交换积分次序，证明： 0dy 0em(a x) f (x)dx0 (a x)em(a x) f (x)dx._2_2 _22 一5 .求由曲面z x 2y及z6 2x y所围成的立体的体积.习题9-3利用极坐标计算二重积分1 .填空题(1)把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分2 2. y .D f (x y , arctan-)dxdy x2 y2 2xx D (x, y)122x y 4,y22x y dxdy(2)化下列二次积分为极坐标系下的二次积分12x0 f(x,y)dy2.计算下列二重积分(1) ln(1 x2y2)d ，其中D是由圆周x2y2 1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭D区域.1 口 2八(2) :dxdy淇中D是由曲线y x与直线y x所围成的闭区域.dx2y2 x2y2d 淇中D是由圆周x2 y2Rx所围成的闭区域D 22_22 一(4)(2
