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1、第一节数列的概念与简单表示考纲要求：1了解数列的概念和几种简单的表示方法考纲要求：1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.基础知识自查自纠1.数列的有关概念(1) 数列的定义按一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫作首项.数列的分类(3)数列的表示法分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限分类无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+1an其中nN+递减数列an+1|an|(n=1,2,)”是“an为递增数列”的条件.答案：充分不必要14. 在数
2、列an中，a1=1,an=1+(n2),贝Ua5=.an-1答案：855. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1) 1,(2) 2,0,2,0.答案：(1)an=千一(2)an=(1)n+1+1热点题型-分类突破由數列的前几顷求数列前通项公式由數列的前几顷求数列前通项公式典题1(1)已知nN+,给出4个表达式：an=，“为奇数，J,n为偶数,an=1+cosnn2an=nnsin其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是()B.D.C.写出下面各数列的一个通项公式: 3,5,7,9，,；715314，81632一1,一1,32,13133，4，5，6
3、,3,33,333,3333,听前试做(1)检验知都是所给数列的通项公式.，所以an=2于(2) 各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1. 每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24, 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为21,偶数项为2+1,所以an=(1)n2+1.1,n为正奇数，rn也可写为an=3,n为正偶数.n 将数列各项改写为9,T,999,999,分母都是3,而分子分别是101,1021,10333331,1041,，所以an=1(10
4、n1).答案：(1)A方址规律根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n+1来调整.肴点二由递推公式求通项公式*K题根味穆-戎般球兜】I典题2设数列a*中，a1=2,a*+1=an+n+1,贝Ua*=.听前试做由条件知an+1an=n+1,n2+n+22n+n+22答案:探究1若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=an”,如何求解?n+1解：Tan+1=n+1an,an+1nann+1anan1an2a3a2anan-1an-2an-3,
5、a2a1a1，探究2若将“an+1=an+n+1”改为“a.+1=2a.+3”,如何求解?解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+11=2(ant)，即an+1=2ant，解得t=一3.故an+1+3=2(an+3).bn+1an+1+3-令bn=an+3,贝Ub1=a1+3=5，且=2.bnan十3所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列.所以bn=5x2nS故an=5X2n13.探究3若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=十3”,如何求解?an十2解：Tan+1=解：Tan+1=2anan+2a1=2,an*0,111=_+：an+1an21即丄an+1丄an12又a1=
6、2则0；=2111是以;为首项，1为公差的等差数列.n-2=丄2X17-+丄a1=丄an-an=探究4若将本例条件换为“ai=1,an+i+an=2n”,如何求解?解：Tan+1+an=2n,.an+2+an+1=2n+2,故an+2an=2,即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a2=1,故an=a2+2号一1=n1.当n为奇数时，Ian+i+an=2n,an+i=n(n+1为偶数)，故an=n.综上所述，an，n为奇数，n1,ncN+.n1,n为偶数，方法规律由递推关系式求通项公式的常用方法(1) 已知a1且anan1=f(n),可用“累加法”求an.(2) 已知
7、a1且卫=f(n),可用“累乘法”求an.an1(3) 已知a1且an+1=qan+b,贝Van+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列an+kAan(4) 形如an+1=BO+C(A，b，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.(5) 形如an+1+an=f(n)的数列，可将原递推关系改写成an+2+an+1=f(n+1)，两式相减即得an+2an=f(n+1)f(n),然后按奇偶分类讨论即可.考点三an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：
8、角度一：利用an与Sn的关系求an典题3(1)已知数列an的前n项和Sn=n2+1,则a.=.(2)已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式：Sn=2n23n；害3n+b.听前试做(1)当n=1时，a1=S1=2,当n2时,当n2时,an=SnSn-1=n2+1(n1)2+1=2n1,故an=2，n=1，l2n1,n2.(2)a1=S1=23=1,当n2时，an=SnSn-1=(2n?3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也适合此等式，an=4n5.a1=S1=3+b，当n2时，an=SS尸(3n+b)(3n1+b)=23n1.当b=1时，ai适合此等式.当bz1时，ai不适合
9、此等式.当b=1时，an=23nC.l)1;当bz1时,当bz1时,an=3+b,n=1,2 3n1,n2.2,n=1,答案：（1）2n1,n2数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=iS，n=1，当n=1时，若a1适合SnSnSn-1,n2.Sn1，贝Un=1的情况可并入n2时的通项an;当n=1时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.角度二：利用an与Sn的关系求Sn典题4典题4（1）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,5=2an+1,贝VSn=()A.2n1B.|n1(2016上饶模拟）设Sn是正项数列an的前n项和,且an和S
10、n满足：4Sn=(a*+1)2(n=1,2,3,),则Sn=听前试做由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1Sn),即2Sn+1=3Sn,$=2，而S1=a1=1，所以Sn=2n-1.由题意，可知Sn=：+f，当n=1时，a1=jan=SnSn1=罗+弩+1at-a2-142+2-；Onan122anan-12V22an+an1anan1整理得，一2一=4?anan-1=2.所以an=2n1.解得Sn=1+2；=n2答案：(1)B(2)n2方法规律解决此类问题通常利用an=SnSn-1(n2)将已知关系转化为Sn与Sn-1的关系式，然后求解.课堂归纳一一感悟提升方法技巧1. 由数列的前几项求
11、数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(1)n或(1)n+1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系,区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系,般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:anSi,n=1,SnSn-1,n2.3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路:(1) 算出前几项，再归纳、猜想；(2) 利用累加、累乘法或构造法求数列的通项公式.易错防范1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列环=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的.2. 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=SnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.课后作业提能演练(三)二练技能查漏呼全盘巩固一、选择题5791. 数列1,815，24，的一个通项公式是()n+12n1A.an=(1)(nN+)n+n/n-12n+1B-an=(-1)J+3n(nN+)Can=(1nn-2nN+)Dan=(-1)n1r22+2n(nN+)解析：选D观察数列an各项，可写成:解析：选D观察数列an各项，可写成:572X4，3X5,D.2.已知数列an的通项公式1an=击7(nCN+)，1则Wo是这个数列的（A.第8项A.第8
