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1、高三数学同步辅导教材（第2讲）一、本讲进度 导数、多项式函数的导数 2.1导数的背景 2.2导数的概念 2.3多项式函数的导数，课本P3039二、学习指导 本讲通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（ 也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量y与自变量的变化x的比值当x0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数.（课本P33页）并进而定义了导函数（简称导数）（课本P34页）. 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导
2、出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及=（n为正整数）课P36已予推导；两个法则：f(x)g(x) /=(x)g/(x). Cf（x）/=C(x) .请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：f(x)g(x) /= = = =（C） =C=.有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.另外，=， yx. 当x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。三、典型例题讲评例1nN*求函数y=xn（x0）的导函数我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。 y/= = = =.上述结果的形式与=有何关系？
3、你能否据此猜度是什么（R）？例2求过抛物线y=ax2+bx+c（a0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为yy0=(2ax0+b)(xx0)即y=(2ax0+b)xax+c，亦即y=(2ax0+b)xax+c. 抛物线焦点：F（,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。例3求函数y=x4+x2 图象上的点到直线y
4、=x4的距离的最小值及相应点的坐标.首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , 2）. d=. 一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲线y=f(x)相交，（A为一交点），则l/与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l/间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x02)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d= =故距离最小值为.上述等号当且仅当x0=0时取得故相应
5、点坐标为（0，-2）.例4物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若V= =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ）（A）01s时间段内的速率为9.8m/s.（B）在11+ts时间段内的速率为9.8m/s.（C）在1s末的速率为9.8m/s（D）若t0，则9.8m/s是11+ts时段的速率.若t0，则9.8m/s是1+ts1时段的速率.本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是：中的t可正可负.例5定义在（、）上的函数f(x)满足f(1)=2，(1)=3. （1）.（1）求的值;（2
6、）求的值本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x1转化为x0的形式.=（f(x)+2）f(1+x)+2= (1)(f(1)+2)=3(2+2) =（x+1）()=(1)(1+1)=6.例6曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1 在（3,4）点处的切线为l2：y=2x+10，求曲线C的方程.已知两点均在曲线C上. y/=3ax2+2bx+c (0)=C (3)=27a+6b+cl1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x3)+4与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=，b=1.求曲线过一点
7、处的切线，先求斜率即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.四、巩固练习 1A选择题（1）曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）（A）（2，8） （B）（1，1）或（1，1） （C）（2，8） （D）（，）（2）一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=53t2，则它在1,+t内的平均速度为（ ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6（3）曲线y=x3x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）过曲线y=x2上一点作切线与直线3xy+1=0交成450角，则切点坐标为（ ）（A）（1，1）
8、 （B） （，）或（1，1）（C）（，）或（1，1） （D）（1，1）或（1，1）2B. 求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.3A. 已知函数f(x)=x2(x1)，若=x0，求x0的值.4B.路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）5B.已知直线y=3x+1是曲线y=x32x+a的一条切线，求a的值.6B.已知f(x)=(xa)(xb)，g(x)=cx+d.（ a、b、c、d为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G/x=f/xg(x)+f(x)g/(x)7C.当f(x)，g(x)为其它
9、可导函数时，上题结论能否成立？能成立，请用定义证明，不能成立，试举一反例说明.8B.设曲线S：y=x36x2x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.9B.已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f/x=g/(x)，f(5)=30，求g(4).10.B.曲线y=x(x+1)(2x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.11.C.已知函数y=x3+ax2+bx+c的图像过点P（1,2）.过P点的切线与图象仅P点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求
10、f(x)的解析式.12C已知f(x)是R上的可导函数.（1）f(x)在x=a处的导数值与f(x)在x=a处的导数值有什么关系？（2）若f(x)为偶函数，的奇偶性如何？ 五、参考答案1（1）y/=3x2，令3x2=3，知k=1，故选（B）（2）=6+3t. 选（C）（3）y/=x22x. 当x=1时，y/=1 选（D）（4）=tan450 知k=2或， 令y/=2x=k，知x=1或.选（C）2y/=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为 yx=2x0(xx0)，过P（2，2），故2x=2x0（2x0） x0=2. 故切线方程为y=(4)x(6).3f(x)=x3x2，=3x22x， 令3x2x
11、0=x0知x0=0或1.4=5. OM= 4BM 同理ON=4CN两式相减，知，影长变化BMCN= (OMON) =MN=t84m/minV=21m/min=m/s.5y/=3x22. 令3x22=3 x=.代入切线方程知y0=1， a=y0+2x0x=1.6f(x)=x2(a+b)x+ab =2x(a+b). =c g(x)+f(x) =2x(a+b)(cx+d)+c(x2(a+b)x+ab)=3cx2+2(dacbc)x+abcadbd.又G(x)=x2(a+b)x+ab(d+cx) =cx3+(dacbc)x2+(abcabbd)x+abd. G/(x)=3cx2+2(dacbc)x+a
12、bcadbdG/(x)= g(x)+f(x) .7结论f(x)g(x)/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)仍成立，证明如下：f(x)g(x)/= =g(x+x)+f(x)=g(x)+f(x)8y/=3x212x1当x=2时有最小值.故P：（2, 12）.S在（2，12）处的切线斜率最小，为13.又y=(x2+2)36(x2+2)2(x2+2)+6 =(x2)313(x2) 12故曲线C的图象按向量=(2，+12)平移后方程为y/=x13x/为奇数，关于原点对称，故P（2，12）为曲线S的对称中心.9由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) =2x+a =2x+c a
13、=c 又知52+5a+b=30 5a+b=5 由知a=c=2. 依次代入、知b=5，d= g(4)=42+24=2310y=x3+x2+2x y/=3x2+2x+2 令y/0 知x(，) 又xz x=0或1 P点坐标为（0，0）或（1，2）.切线斜率k=2或1，切线方程为y=2x或y=x+1.11y/=3x2+2ax+b =3+2a+b过P点切线方程y2=(3+2a+b)(x1) 与y=x3+ax2+bx+c联立，并注意到曲线过点P（1，2）知a+b+c=1 x3+ax2(3+2a)x+2+a=0 即(x1)(x2+(a+1)x2a)=0令(a+1)2+4(2+a)=(a+3)20 知a=3.b=2，b=5， c=15+3=1.f(x)=x33x2+5x1.12互为相反数.f(x)在x=a处的导数值为=.(2) 是奇函数,这是因为= f(x)为偶函数,故可进而写为=.六、附录例1= = = 这与n为正整数时(xn)/= 法则相合，（即以n代n，即得上式.） 这会使我们猜测R时，=，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2显然，y0=ax+bx0+c y/=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)，亦即y=(2ax0+b)xax+c.
