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1、复习内容:概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强 间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断 面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热 线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。XX+dX解在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为 dX的微元的受力图,截面X上作用 有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有F(X dX) F(X,t) F(X,t) dXX根据牛顿第二定律，有oAodXF(X dX) F(X,t) F(X,t) d
2、XtX解之，有F(X,t) dXoAodXXt而F(X,t)A。，故上式可以化为(a)对于一维应力纵波，()连续可微,记则 d C2d代入(a)式,可得(b)因为,代入(b)式，则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程：二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系v v2v (1 )c2 0t xx 0t x x v,v ) cx解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,(v C2) X根据特征线求解方法，特征线特征方程为X入+其中 为待定系数,整理可得:v) vv 0(a)# / 12穿)解之，得c,即特征线的微分方程为：dx (vc)dt解：对一阶偏微分方程组进行线性
3、组合,X入+,其中v (1)c2 x根据特征线求解方法，特征线特征方程为(1为待定系数，整理可得:vvv0(a)xt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有(v) v值代入上式，可得特征线上的相容关系为v (1)0t xx(1 )1dxv (1)cdt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有v (1 )c2x(1即将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：设半无限长弹性杆初始状态为(X,0),v(X,O) v, (X,0), t=0时刻杆左端# / 12对一阶偏微分方程组进行线性组合,+v c2- r t根据特征线求解方法，特征线特征方程为，其中v)为待定系数，整理可得:v 2
4、tv-0(a)r(却解之，得,即特征线的微分方程为：dr(v c)dt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有即将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：dtrd dvc解：对一阶偏微分方程组进行线性组合其中为待定系数，整理可得:根据特征线求解方法，特征线特征方程为解之，得,即特征线的微分方程为：dXCdt0C2(a)将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有(丄一-)x toC2C2值代入上式，可得特征线上的相容关系为：用特征线法求解波的传播。X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(O,t) v0(),用特征线法求解(X,t)平面上AOX 和Aot区域的物理量。解：1 ,严)zC
5、?.J1 0QBOA为经0(0,0)点作的右传波的特征线，将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性 波尚未到达的A0)区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波，特征线和特征线上相容条件对应于：引入积分常数1、2、Ki、K2后,可写成右行波有：左行波有：(1) AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR分别交0X轴于Q点和R点, 沿着特征线PQ和PR分别有VP C0 PVQ C0 Q 1(1)C0VP0C0VQK1VpC0 P Vr C0 r 20C0VPR0C0VRK2VP由( 1)(2)可得：p1(VQVR)C0( R Q)212C0(vr vq) C0( rQ)由初始条件，有,
6、v(X,0) v , (X,0),则可解得由于P点位AO)区域中的任意点，因此该解适合用于整个 AOX区。对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点，负向特征线BD,交0X轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点，沿着特征线BC BD和 CE分别有VbC0 BVCC0 C1B0C0VBC0C0VCk11VbC0 BVDC0 D2B0C0VBD0C0VDk22VcC0 CVeC0 E3VC0C0C0VCE0C0VEk23沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值，即有DE,VdVe,DE此外,Vc由边界条件已给出,即 VcVo()于是可解得VVo()BCCoVb
7、VcVo()BC0)CoVvo ()可以看出，在 时刻，施加于杆端部的扰动Vo()和c以Co的速度沿杆传播，并且 沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为X Co(t ),则有由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为Vo(tXCo# / 12CoXV Vo(t)Co0C0 VVo (tXCo四、波形曲线和时程曲线 一线性硬化材料半无限长杆X o，应力应变关系如图所示，其中E lOoGPaE E/25,Y200MPa,。4g/cm3。在杆的左端 X 0处施加如图所示的载荷。(1)画出X t图；(2)画出t O.4ms时刻的波形曲线;(3)画出X
8、0.5 m位置的时程曲线。解：半无限长杆中弹性波波速:塑性波速：G产生塑性波的速度v点的坐标表示清楚，X1Co50C01 103 m/s2 1084 103 5 10310m/s，时间 tY0.1ms。（图上把关键t图、波形图和时程图尽量画在一起）o-i0 120100 2 0-31.52;瀛m)t=0 4ms时的滾形柱线五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示，作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束 时间和两杆脱开时间.（做a b）Lov10v 8m/ sLoV20v10（C）1L。2L0解：作图说明：两弹性杆材料相同，故在X
9、-t图中，由于两杆波速相等，同方向的特征线 斜率相同；在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。（a）A由波系图和 v状态图可得，两杆撞击结束时间为，对应于M点，此时两杆在撞 击界面上质点速度均为0，此后一直到时间时（N点），两杆界面上质点保持静止，并 未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为v70，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出(b)Lo2 LoLo由波系图和v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间，对应于 M点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而 1杆由于应力波在右端面的反射，杆内逐 渐获得了正向
10、速度。当时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面的介质速度由V4 0提高至V6 0,而此时2杆右端面的介质速度刚好由V4 0下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆A和B的You ng模量，密度和屈服极限分别为：33EA 60GPa、 A 2.4g /cm、YA 100MPa、EB 180GPa、 B 7.2g / cm、Yb 240MPa,试对图中所示情况分别画出X-t图和 v图，并确定其撞击结束时间、两杆脱开时间。以和分离之后各自的整体飞行速度。50ctn(a)1 00 cm# / 12耳 5000m/s解：CaEa96
11、0 1035000m/s，CB107Kg.s/m2a 2.4 10YA“YBVYA8.33im / s ， vyb6.6/m/ saCabCbaCa 1.2 107Kg.s/m2， bCb 3.6可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率 相同，而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，使界面处质点速 度小于零（-0.4m/s），A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而 B杆左 端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s
12、， B杆的平均速度为2.0m/s。根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程和结果为：1区：自然静止区2区：3区：3BCBV332ACA（V3V2）4区：4043ACA（V4 V3）5区：5053BCB（V5 V3）6区：6 063BCB（V5V3）3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其 材料常数分别为：EA 60GPa、A 2.4g/cm3、YA 100MPa、EB 180GPa、 B 7.2g/cm3、YB 240MPa。试确# / 12定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大?aCa叫一叫二0ACb解：CAA1.260 1092.4 1 0
13、35000m/S，Ea电 5000m/sACA107，bCb 3.6 1078.33m/ s， vybYbBCB6.67m/ sA、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。B杆撞击A杆，如图（1）所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的 A杆屈服,只需图3区解对应于Ya和Vya即可，这是一种临界状态。t图（1）则应有可解得，使得被撞击杆的 A杆屈服，最小打击速度为v211m/s（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图（1）所示，有可解得：V216.67m/s5、相同材料的弹性杆,A杆以va 8m s的速度撞击初始静止靠在一起的 B,C,D杆,如图 所示，试作出X t图，确定撞击结束时间，脱开时间和撞击后各杆的运动状态。- 8 m/s= 0- 0 卩 口BCD% ia -解:作出X t图和v如下图所示.vX t图中各区域中的状态量可得1
