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1、2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试题卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)棱柱的体积公式VSh其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高圆锥的体积公式VSh其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高第卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，复数()A2iB2iC2iD2i2设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不
2、充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为()A1 B1C3 D94函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D35在(2x2)5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D406在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b5c，C2B，则cosC()A B C D7已知ABC为等边三角形，AB2设点P，Q满足，(1)，R若，则()A B C D8设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A，B(，)C，D(
3、，)第卷本卷共12小题，共110分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9区有小学150所，中学75所，大学25所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_所学校，中学中抽取_所学校10一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m311已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_12已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_13如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的
4、延长线相交于点D过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，则线段CD的长为_14已知函数的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f(x)sin(2x)sin(2x)2cos2x1，xR(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间，上的最大值和最小值16现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加
5、乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E()17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1(1)证明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长18已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1a
6、n1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*)19设椭圆(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足20已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0(1)求a的值；(2)若对任意的x0，)，有f(x)kx2成立，求实数k的最小值；(3)证明ln(2n1)2(nN*)1B2A0时，f(x)cosx，f(x)f(x)，f(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(0)1，cos1，k(kZ)是充分而不必要条件3Cx|25|1，x14；x|4|1
7、，x11；x|1|1不成立，x21134Bf(x)2xln23x2，在(0,1)上f(x)0恒成立，f(x)在区间(0,1)上单调递增又f(0)2003210，f(1)2113210，f(x)在区间(0,1)上存在一个零点5DTr1(2x2)5r()r(1)r25rx103r，当103r1时，r3(1)3253406A在ABC中，由正弦定理：，cosCcos2B2cos2B17A设，则|a|=|b|=2，且a，b=，=(1)ba(ab)=(1)+1aba2(1)b2=(2+1)244(1)=22+22=即(21)2=0，8)D直线与圆相切，即：mnmn1，设mnt，则，t1，t24t40，解得
8、：或9答案：189解析：共有学校1507525250所，小学中应抽取：所，中学中应抽取：所10答案：189解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6m,3m,1m的长方体，底部为两个直径为3m的球该几何体的体积为：V6312189(m3)11答案：11解析：AxR|x2|3，|x2|33x23，5x1又BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，1是方程(xm)(x2)0的根，n是区间(5,1)的右端点，m1，n112答案：2解析：由参数方程(t为参数)，p0，可得曲线方程为：y22px(p0)|EF|MF|，且|MF|ME|(抛物线定义)，MEF为等边三角形，E的横坐标为
9、，M的横坐标为3EM中点的横坐标为：，与F的横坐标相同，p213答案：解析：在圆中，由相交弦定理：AFFBEFFC，由三角形相似，由切割弦定理：DB2DCDA，又DA4CD，4DC2DB214答案：(0,1)(1,4)解析：函数y=kx2过定点(0，2)，由数形结合：kABk1或1kkAC，0k1或1k415解：(1)f(x)sin2xcoscos2xsinsin2xcoscos2xsincos2xsin2xcos2x所以，f(x)的最小正周期(2)因为f(x)在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，又，故函数f(x)在区间，上的最大值为，最小值为116解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游
10、戏的概率为，去参加乙游戏的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为(3)的所有可能取值为0,2,4由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4)所以的分布列是024P随机变量的数学期望17解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,
11、0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B(，,0)，P(0,0,2)(1)证明：易得=(0,1，2)，=(2,0,0)，于是，所以PCAD(2)=(0,1，2)，=(2，1,0)设平面PCD的法向量n=(x，y，z)，则即不妨令z=1，可得n=(1,2,1)可取平面PAC的法向量m=(1,0,0)于是，从而所以二面角APCD的正弦值为(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2，由此得由=(2，1,0)，故，所以，解得，即解法二：(1)证明：由PA平面ABCD，可得PAAD，又由ADAC，PAAC=A，故AD平面PAC又PC平面PAC，所以PCAD(2)如图，作AHPC于点H，连接
12、DH由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角在RtPAC中，PA2，AC1，由此得由(1)知ADAH，故在RtDAH中，因此所以二面角APCD的正弦值为(3)如图，因为ADC45，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF故EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角由于BFCD，故AFB=ADC在RtDAC中，故在AFB中，由，sinFABsin135，可得由余弦定理，BF2AB2AF22ABAFcosFAB，可得设AEh在RtEAF中，在RtBAE中，在EBF中，因为EFBE，从而EBF30，由余弦定理得，可解得所以18解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*(2)证明：(方法一)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2T
