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1、线性系统的基本性质和联系1、齐次性1.1定义对于一个系统，当输入为u (t)，初始状态为x(to)时，其响应为y (t)；贝|当输入为 a*u (t)，初始状态为a*x(t0)时，其响应为a*y (t)。即：若 u (t), x(tO)T y (t)，则 a*u (t)，a*x(tO)T a*y (t)。则称系统具有齐次性，其中a为任意常数。1.2 仿真1.2.1 搭建电路图在PSIM软件上搭建一个RLC电路，直流电源电压为输入u (t)，电感的初始电流I (0) 和电容两端的初始电压Uc (0)为初始状态，而电容两端的电压Uc (t)为输出。各个元件的参数如下：电阻R=12Q，电感L=1H，
2、电容C=10mF。1.2.2 仿真结果(3)将两者图形放在一起，可看出由于其输入跟初始状态放大三倍，其输出也放大了三倍 即可验证系统满足齐次性。2、叠加性2.1定义对于一个系统，当输入为u1 (t)，初始状态为x1(tO)时，其响应为y1 (t)；当输入为 u2 (t)，初始状态为x2(t0)时，其响应为y2 (t)；则当输入为u1 (t) +u2 (t)，初始状 态为 x1(t0)+ x2(t0)时，其响应为 y1 (t) + y2 (t)。即：若 u1 (t)，x1(tO)T y1 (t)，u2 (t)，x2(tO) y2 (t)，则u1 (t) + u2 (t)，x1(t0)+ x2(t
3、O)y1 (t) + y2 (t)。则称系统具有叠加性。2.2仿真2.2.1 搭建电路图继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。2.2.2 仿真结果(3)当输入u (t) =8V,初始状态I (0) =0.7A、Uc (0) =1.5V时，其输出波形如下:mfl0.20.4Q21Time 15)(4)将三者图形放在一起，可看出由于第三个输入跟初始状态放为前两个的叠加，其输出也为第一个输出跟第二个输出的叠加，即可验证系统满足叠加性。3、系统齐次性与叠加性的联系(1) 齐次性跟叠加性可以组合系统的线性，即：若 a1*u1 (t), a1*x1(tO)T a1*y1 (t),a2*u2 (t), a
4、2*x2(tO) a2*y2 (t),则 a1*u1 (t) + a2*u2 (t)，a1*x1(tO)+ a2*x2(tO)a1*y1 (t) + a2*y2 (t)。例如，当输入 u1 (t) =5V,初始状态 11 (0) =0.2A、Uc1 (0) =1V， 输入 u2 (t) =3V, 初始状态 12 (0) =0.5A、Uc2 (0) =0.5V,输入 u3 (t) =22V,初始状态 I3 (0) =2.4A、 Uc3 (0) =4V, a1=2, a2=4时，其输出波形如下：(2) 当系统前面的系数al、a2为实数时，只要系统满足叠加性，就一定满足齐次性。 理由：将系统放大a倍
5、，若a为整数，可以看成a个系统的叠加，显然成立；若a为为其 他有理数，可看成为整数部分与小数部分的叠加，不难得知满足齐次性。4、零状态响应4.1定义不考虑起始状态系统储能的作用，即初始状态x(tO )为0,只由系统输入信号产生的响应,即：u (t), x(tO)=O Yzs (t)4.2 仿真4.2.1 搭建电路图继续采用上面所述的 RLC 电路，参数不变。4.2.2 仿真结果当输入u (t) =3V,初始状态I (0) =0、Uc(0)=0时，其输出波形如下:可以看到，系统从零点开始出发，而且最终状态跟输入一致，都为3V。5、零输入响应5.1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始
6、状态引起的响应。取决于初始状态和电路特 性，这种响应随时间按指数规律衰减。，即：U(t)=0, x(t0)T Yzi(t)5.2 仿真5.2.1 搭建电路图继续采用上面所述的 RLC 电路，参数不变。5.2.2 仿真结果当输入u (t) =0，初始状态I (0) =0.5A、Uc(0)=0.5V时，其输出波形如下:可以看出，系统从初始状态的电压值0.5V出发，最后趋于0.6、零状态响应与零输入响应的联系(1)零状态响应加上零输入响应为系统的全响应，即：Yzi(t)+ Yzs(t)= Y(t)例如，当输入u (t) =0，初始状态I (0) =0.5A、Uc(0)=0.5V时，输出记为VP1；输
7、 入u (t) =3V，初始状态I (0) =0、Uc(0)=0，输出记为VP2；当输入u (t) =3V，初 始状态I (0) =0.5A、Uc (0) =0.5V时，输出记为VP3。其波形如下图所示：由图中，可得知VP3=VP1+VP2,即系统的全响应为系统的零输入响应和零状态响应之和。(2)零输入响应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次解的一部分。 在零输入状态下，微分方程等式的右边为零，所以求出来的是系统的齐次解。而在零状态情 况下，因为有外加激励，所以包含系统的特解，另外，系统还受到初始条件的制约，所以还 包含有齐次解。例如，在上述系统中，当输入u (t) =5V，
8、初始状态I (0) =0.2A、Uc (0) =1V时，用Matlab 分别求出其零状态响应和零输入响应。先求零输入响应方程： y=dsolve(D2y+12*Dy+100*y=0,y(0)=1,Dy(0)=20,x)得到结果 Yzi(x)=cos(8*x)/exp(6*x) + (13*si n(8*x)/(4*exp(6*x)再求零状态响应方程： y=dsolve(D2y+12*Dy+100*y=500,y(0)=0,Dy(0)=0,x)得到结果为 Yzs(x)=5 - (15*sin(8*x)/(4*exp(6*x) - (5*cos(8*x)/exp(6*x) 从结果可以看出：零输入响
9、应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次 解的一部分。7、齐次性、叠加性与零状态响应、零输入响应的联系(1)系统的响应满足叠加性，即系统的全响应为零状态响应与零输入响应之和。(2)当输入为零时，系统的零输入响应对应各个初始状态呈线性，即同时满足齐次性与叠 加性。例如，当输入u (t) =0,初始状态I (0) =0.5A、Uc (0) =1V时，输出记为VP1；输入u (t) =0，初始状态I (0) =1A、Uc(0)=0.5V，输出记为VP2；输入u (t) =0，初始状(3) 当初始状态为零时，系统的零状态响应对应各个输入呈线性，即同时满足齐次性与叠 加性。例如，当输入u (t) =5V，初始状态I (0) =0、Uc (0) =0时，输出记为VP1；输入u (t) =7V，初始状态I (0) =0、Uc (0) =0，输出记为VP2；输入u (t) =12V，初始状态I (0) =0、Uc (0) =0，输出记为VP3。仿真结果为：
