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1、精品资料数学精选教学资料精品资料课时提升作业(二十五)生活中的优化问题举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件【解析】选C.y=-x2+81,令导数y=-x2+810,解得0x9;令导数y=-x2+819,在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+)上是减函数,所以在x=9处取极大值,也是最大值.2.圆柱形金属饮料罐的体积一定,要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为(
2、)A.21B.12C.14D.41【解题指南】设出高及底面半径,当饮料罐用料最省时,用体积表示出高及半径后求比值.【解析】选A.设圆柱形饮料罐的高为h,底面半径为R,则表面积S=2Rh+2R2.由V=R2h,得h=,则S(R)=2R+2R2=+2R2,令S(R)=-+4R=0,解得R=,从而h=2,即h=2R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值,当饮料罐的高与底面直径相等,即hR=21时所用材料最省.3.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于()A.RB.RC.RD.R【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=
3、R2-h2(0h2R).所以圆柱的体积为V(h)=r2h=h=R2h-h3(0h2R).求导数,得V(h)=R2-h2=,所以0h0;h2R时,V(h)0,由此可得:V(h)在区间上是增函数;在区间上是减函数,所以当h=时,V(h)取得最大值.4.(2015益阳高二检测)某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0x60),则当箱子的体积最大时,箱子底面边长为()A.30B.40C.50D.60【解题指南】V(x)是三次函数,其最值问题可用求导法.【解析】选B.V(x)=-x2+60x=-x(x-40),因为0x60,所以当0x0,此时V(x)单调递增;当40x60时,V(x)0,此时V
4、(x)单调递减所以x=40是V(x)的极大值,即当箱子的体积最大时,箱子底面边长为40.5.用长为90cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为()A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm【解析】选C.设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3,则V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0x24),因为V(x)=12x2-552x+4320,由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),因为当0x0,当10x24时,
5、V(x)0,所以当x=10时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值,所以容器高x=10cm时,容器体积V(x)最大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为.【解析】设圆柱底面半径为R,高为H,圆柱轴截面的周长l为定值,则4R+2H=l,所以H=-2R,所以V=SH=R2H=R2(-2R) =R2-2R3,则V=Rl-6R2,令V=0,可得Rl-6R2=0,所以R(l-6R)=0,所以l-6R=0,所以R=,当R0,R时,V0,故当R=时,V取极大值.故当R=时,圆柱体积有最大值,圆柱体积的最大值是:V=R2-2R3=.答案:7.统计表明:某种型
6、号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.【解析】当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=x2+-(0x120),h(x)=-=(0x120).令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.答案:
7、80【补偿训练】甲乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以速度行驶.【解析】设全程运输成本为y元,由题意,得y=240,v0,y=240.令y=0,得v=80.当v80时,y0;当0v80时,y0),即L(x)=x-1200-x3,L(x)=-,令L(x)=0,即-=0,得x=25,因为x=25是函数L(x)在(0,+)上唯一的极值点,且是极大值点,从而是最大值点.答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015泰安高二检测)某工厂共有1
8、0台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数.(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?【解析】(1)由题意得,所获得的利润为y=102(x-P)-P=20x-3x2+96lnx-90(4x12).(2)由(1)知,y=当4x0,
9、函数在4,6上为增函数;当6x12时,y0,函数在6,12上为减函数,所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=206-362+96ln6-90=96ln6-78(万元)答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.【补偿训练】某厂家拟对一商品举行促销活动,当该商品的售价为x元时,全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验,实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+万件,其中4x7.5,a为常数.当该商品的售价为6元时,年销售量为49万件.(1)求出a的值.(2)若每件该商品的成本为4元时,写出厂家销售该商品的年利润
10、y万元与售价x元之间的关系.(3)当该商品售价为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大.【解析】(1)由已知:当x=6元时,t=49万件,所以49=12(6-8)2+,所以a=2.(2)因为y=(x-4)t-12(15-2x)(x-4)所以y=(x-4)-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4x7.5).(3)y=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),令y=0得x=7或x=5.列表如下x(4,5)5(5,7)7(7,7.5)y+0-0+y极大值50极小值2故当x=5时,y最
11、大=50,故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.10.(2015桂林高二检测)用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为21,那么高为多少时容器的体积最大?并求出它的最大体积.【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为(4.5-3x)m.由解得0x,故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3,从而V(x)=18x-18x2=18x(1-x),令V(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),当0x0;当1x时,V(x)0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值,从而
12、最大体积为V(1)=912-613=3(m3),此时容器的高为4.5-3=1.5(m).因此,容器高为1.5m时容器的体积最大,最大体积为3m3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.如图所示,半径为2的M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB.旋转过程中,OC交M于点P.记PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是下图中的()【解析】选A.由所给的图示可得,当0x时,弓形PnO的面积为S=f(x)=S扇形PnO-SMPO=2x-2sinx,其导数为f(x)=2-2cosx,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图象上升得越
13、来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D,故选A.2.将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是()A.B.C.D.【解题指南】设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形周长、梯形面积后代入求最值.【解析】选A.设剪成的小正三角形的边长为x,则S=(0x1).设S(x)=,则S(x)=.由S(x)=0,0x1,得x=,当x时,S(x)0,S(x)单调递增;故当x=时,S的最小值是.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0t30,tZ)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为.【解析】记g(t)=t+10(00,得t2,令g(t)0,得0t2,所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递
