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1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间a,b上的值域为A，g(x)在区间c,d上的值域为B,则AB.9、若不等式在区间D上
2、恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；10、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:j在给定区间上某关系恒成立;k某函数的定义域为全体实数R;l某不等式的解为一切实数;m某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中
3、大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题
4、在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用）由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b
5、4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字
6、母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2
7、+bx+c(a0)大于0恒成立，则有（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设在区间上恒成立（1） 当时，上恒成立，上恒成立（2） 当时，上恒成立上恒成立类型3：设在区间 (- , a上恒成立。f(x)0a0且Da且f(a)0f(x)0a0且Da且f(a)0a0,D0或-b/2a0f(x)0a0,D0或-b/2aa且f(a)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小
8、值)例5.已知三个不等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2x3;,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8. 设常数aR,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为。解：1）a=0x=a/2=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a=2则与g(x)有交点，即：-2=a0x=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a=2时与g(x)有交点，即：0a=2综上所述，-2=a=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”
