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1、数 的 单 调 性:匕学习目标.(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性)，能应用函数的基本性 质解决一些问题。(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、 证明函数单调性的方法.(3) 了解奇偶性的概念，回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。*%匕重思殳唯息(1)判断或证明函数的单调性；(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。7学习过程【学习导航】自学评价观察函数f(x) x, f(x) X2的图象从左至右看函数图象的变化规律：.f (x) X的图象是 的，-2 ,f(x) x的图象在y轴左侧是 的,2 .f(x) x在(,)上，f (x)
2、随着x的增大而； f(x) x在(，0上，f (x)随着x2的增大而； f(x) x在(0,)上，f (x)随着x的增大而.一、 函数的单调性1.单调函数的定义(1)增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1) f(x2)，那么就说f (x)在这个区间上是增函数。(2)减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值X、x2，当x1 x2时都有f(x1)f(x2),那么就说f (x)在这个区间上是减函数。(3)单调性：如果函数y f (x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y f (x)在这一区间
3、具有(严格的)单调性，这一区间叫做y f(x)的单调区间。减函数：x1 x2f (x1 )%f(x2)派增函数、减函数的定义(1)定义法：1判断下列函数的单调区间：y 2X(2)图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为 减函数。(3)复合函数的单调性的判断：设y f(x), u g(x), X a,b, u m,n都是单调函数，则yfg(x)在a,b上也是单调函数。若y f(x)是m,n上的增函数，则y f g(x)与定义在a,b上的函数u g(x)的单调性相同。若y f(x)是m,n上的减函数，则y f g(x)与定义在a,b上的函数u g(x)的单调性相同。即复合函数的
4、单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减(类似于“负负得正”)练习：(1)函数y 44一/ 的单调递减区间是 ,单调递增区间为 .1，、，(2) y ,的单调递增区间为x2 4x 5-3、函数单调性应注意的问题： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间 (如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).函数在定义域内的两个区间A B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在乂U51上是增(或减)函数例题精讲
5、；二函数单调性的证明.例题分析1 一例1,证明：函数f(x) 在(0,)上是减函数。 x证明：设任意x1 , x2 c (0, +8)且x1 x2,11x2 x1则 f(x1) f(x2) ,x1 x2x1x2由 x1，x2 6 ( 0, +8),得 x1x2 0 ,又 X x2 ,得 x2 X 0 , f(x1) f(x2)0,即 f(x) f(x2)1所以，f (x)在(0,)上是减函数。 x1 说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y 一不能说x(,0)(0,)是原函数的单调递减区间；3练习：1.根据单调函数的定义，判断函数f(x) x 1的单调性。2.根据单调函数的定义，
6、判断函数f(X)、.X的单调性例2,，下图是定义在区间-5 , 5上的函数y根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？思维点拔：观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域,k例3,物理学中的玻意耳定律p k (k为正1VV减小时，压强p将增大，试用函数的单调k思维点拔：只需证明函数 p 在区间0,上是减函数即可V三，函数单调性的应用x例4. f(x)是TE义在(0, +8)上的增函数，且 f( ) = f(x) - f(y)y(i)求f(i)的值.1xy 0,则 f(i)=0.f(36) f(6), f (36) 2f(6) 2.f (36),即 fx(x+3)f(36),
7、(2)若 f(6)= 1 ,解不等式f( x + 3 )-f( ) 2 .解析：在等式中 令x在等式中令x=36, y=6则f(36)6故原不等式为：f (x 3) f (1) x又f(x)在(0 , +00 )上为增函数，x 3 01故不等式等价于：一0x0 x(x 3) 36它在R上是增函数还是减函数?例5.函数f(x)= x3+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性,试证明你的结论.解析：f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设 xi、x2C(8, + 8) , x1 0 而(Xi+ x2 )2+ 3 X22 0, ：f(Xi)f(X2). 24:函数f(X)=X3+ 1在
8、(-8, + oo)上是减函数.例6.试讨论函数f(X尸Ji X2在区间1, 1上的单调性.解析：设 XI、X2 1 , 1且 Xi VX2,即一14X1V X20, J1 X12 。1 X22 0, .当 X10, X20 时，X1+X20,那么 f（X1）f（X2）.当 X1V0, X2V0 时,X1 + X2V0,那么 f（X1）Vf（X2）.故f（X）= 1 忑在区间1, 0上是增函数，f（X）= 1 X2在区间0, 1上是减函数.例7.设函数f（X）= 0）,试确定：当a取什么值时，函数f（X）在0, + 00）上为单调函数.解析：任取X1、X2C0, + 且X1VX2,则 22f(
9、x1) 一 f(X2)=(X；1 ：x221 a(X1 X2)= 1二Xj-a(X1 -X2)个X：15221X1X2=(X1 x2)( L- - a)四 1, X21当 a)1 时，.12 x1 X2 2 0,即 f(X1)f(X2)：a1时，函数f（x）在区间0, + 8）上为减函数.2a当0vav1时，在区间0, + 上存在X1=0, X2=万,满足f(x1)=f(X2)=11 a 0V av 1时，f（x）在0 , +上不是单调函数 注：判断单调性常规思路为定义法;变形过程中121|X1| X1； VX22 1 X2；从a的范围看还须讨论 0vav 1时f(x)的单调性，这也是数学严谨
10、性的体现.例8.已知f(x)是定义在(一2, 2)上的减函数，并且f(m1)f(1 2m)0,求实数m的取值范围.解析：二才伙)在(一2, 2)上是减函数;由 f(m 1)-f(1 2m)0,得 f(m 1)f(1 -2m)2 m 1 22 1 2m 2,即m 1 1 2m1 m1-m22 m3解得2 一 122, ：m的取值范围是(一,上)32 32 x 例9.已知函数f(x)二2x a xxC1, +OO(1)当a=l时，求函数f(x)的最小值;2(2)若对任意xC 1+ 0), f(x)0恒成立，试求实数 a的取值范围.解析:.1 一，当a=1时, 2f(x)=x+ + 2, xC1,
11、+ 00) 2x设 x2xI1,则 f(x2)f(x1) = x2 +2x2Xi -=(X2-xi) + 2 XiXiX2资=8x1)(1 -2x1x2-x2x1 1 , x2 x1 0 , 1 2x1 x20,则 f(x2)f(x1)可知f(x)在1+ 8)上是增函数.：f(x)在区间1, +8)上的最小值为f(1)=二.2(2)在区间1+ )上，f(x)= -2xa0 恒成立x2+2x+a0 恒成立设 y=x2 + 2x+a, xC1, 十 ),由 y=(x+ 1)2+a 1 可知其在1, + oo)上是增函数,当x=1时，ymin=3 + a,于是当且仅当 ymin=3+ a0时函数f(
12、x)0恒成立.故 a 3. 【拓展训练】1 .下列函数中，在(,0)上为减函数的是()A.y=3xB.y=-xC.y=D.y=2x+12 .函数 f(x) (k1)x 3在()上单调递减，则k的取值范围是(A.k0B.k-1D.k-13 .函数y x2 6x 10在区间(4)上为()函数.A.单调递增 B.单调递减C. 先增后减D.先减后增4 .已知函数f（x）在（一2, 3）上是减函数，则有（A.f(-1)f(0)B.f(0)f(2)C.ff(0)D.f(-1)f3x 25 .证明函数 f (x)在区间(,0)上是增函数X课后作业:函数单调性练习一、选择题：1 .在区间(0, + 8)上不是
13、增函数的函数是()A . y=2x+1B. y=3x2+1C. y=2D. y=2x2 + x+1x2 .函数f(x)=4x2mx+ 5在区间2, + 8上是增函数，在区间(一8, 2)上是减函数，则f(1)等于()A.- 7B.1C.17D.253.函数f(x)在区间(2, 3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是()A.(3,8)B.(7, -2)C.(2, 3)D.(0,5)4.函数f(x户ax在区间(2, +8)上单调递增，则实数 a的取值范围是()x 2A. (0, -)B. ( 1, 十叼22C. (2, +8)D. (8, 1)U(1, 十川5 .已知函数f(x)在区间a, b上单调，且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a, 3内()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根6 .已知函数 f(x)=8+ 2xx2,如果 g(x)=f( 2 x2),那么函数 g(x)()
