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1、求函数值域的方法求函数值域的方法 摘要：求函数的值域是高中数学的基本知识也是高中数学的难点，所以要引起我们的足够重视，但是要学好这一知识点必须要掌握一些求函数值域的基本方法，对于求解函数的综合问题很有必要，本文将从基本方法和灵活运用方面做一些探讨和研究，以便学生理解和掌握函数的有关问题。 关键词：函数 值域 反函数 分离变量 判别式 换元 数形结合 函数是中学数学的重要内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的数学思想方法，它贯穿了我们高中数学的所有内容，这也决定了在高考当中的重要地位，函数的值域经常穿插于高考的各大小试题中.函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的
2、定义域及对应法则完全确定，但是学生在求函数值域的时候仍是感觉到较为困难，因为函数千变万化，形式各异，对函数值域的求法也各式各样，它常涉及多种知识的综合应用，虽然没有固定的方法和模式，但若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就对求函数值域的方法做一些归纳总结，供参考。 一、相关概念 1、值域：函数y=f(x)(xA)，所有函数值的集合y|y=f(x),xA称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函
3、数的值域常常化归为求函数的最值. 3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域. 4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、求值域的方法 1、直接法 根据函数表达式特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，直接得出函数值域的一种简单方法。 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y=k(k0)的定义域为x|x0，值域为y|y0； x二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域为R，当a0时，值域为2y|y(4ac-b)； 4a2当a3) 2x解：由算数平方根的性质
4、得2-3x的值域，故2-3x0 所以函数的值域为3,+) 12Qx0,又Q函数y=在上为单调递减函数x1函数y=2的值域为x 因为函数y=5+2、分离变量法 116在(3,+)为减函数，所以函数的值域为。 x3ax+b可用分离常数法，cx+d对于分子、分母是齐次函数的有理函数，形如：y=此类问题一般也可以利用反函数法和判别式法。 例2、 求下列函数的值域。 2x-1y= y=x+2xx22-1+1(1)Qy=解： 5y|y2。Q0y2函数的值域为x+22x-12(x+2)-55=2-x+2x+2x+2(2)Qy=2xx2-1+12=2x2+1-22x+1=1-2x22+1-2,0) Qx+11
5、2x2+1(0,2-x2+1函数y=3、配方法 x_1的值域为-1,1）。x+12当所给的函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，形如：求y=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题时，都可以使用配方法。 例3、 求下列函数的值域。 y=x221+6x-5,(x-5,2) (2)y=-logx+4logx+2,(x,2) 222解：y=x+6x-5=(x+3)-14 22Qx-5,2x+3-2,5(x+3)0,25(x+3)-14-14,11函数y=x+6x-5,(x-5,2)的值域为-14，11。222(2)令t=logx21Qx,2t-1,12原函数可化为y=-t+4t+2,(t-1
6、,1)Qy=-t+4t+2=-(t-2)+6222Qt-1,1t-2-3,-1(t-2)1,9-(t-2)-9,-1221y=-(t-2)+6-3,5函数y=-logx+4logx+2,x,2的值域为-3,5。222224、反函数法 当函数的反函数存在时，利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆性，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例4、 求下列函数的值域。 2-3x+2y= (2)y= x3x+11+3x解：(1)原函数的反函数为x=2-y1,则反函数的定义域为y的实数3y-131原函数的值域为yR|y。32-31+3x由已知y=x得3=x2-y。 1+y 30x2-y0 1+y-1
7、x|AB|=10 函数的值域为10,+)2222y=(x-3)+(0-2)+(x+2)+(0+1)(2) 原函数可化为： 上式可看成x轴上的点p(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和 22y=|AB|=(3+2)+(2+1)=43， min当点P为线段与x轴的交点时，函数的值域为43,+)。 y A(3,2) P B(-2,-1) x y=y-y1sinx+2sinx+2的形式类似于斜率公式y=2，y=表示过两点cosx-2cosx-2x2-x1P0(2，-2)，P(cosx，sinx)的直线的斜率。 22 由于点P在单位圆x+y=1上 显然，kP0AykP0B 设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x-2)，则有|2k+2|k2+1=1，解得k=-47 3 即kP0A=-4-7-4+7 ，kP0B=33 -4-7-4+7 y33-4-7-4+7， 33 函数值域为-y A P O x B P (2,-2) O
