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1、实验报告实验三 插值法与拟合实验一、实验目的1、懂得利用数据建模两种方法(插值法和拟合多项式法)对一批数据(x , y )，11(x , y )， ， (x , y )进行处理，学会对数据的结果进行误差分析.2 2 n n2、比较分析这些方法的优缺点，并且在适合的场合应用相应的方法.二、实验题目1插值效果的比较实验题目：将区间-5,510等分，对下列函数分别计算插值节点x的值，进行不k同类型的插值，作出插值函数的图形并与y = f (x)的图形进行比较：x)=；+ x 2f (%)一 a r c t axn；f Cx) =+ x4( 1 ) 做拉格朗日插值；( 2) 做三次样条插值.2拟合多项
2、式实验实验题目：给定数据点如下表所示xi-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5yi-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数(x , y )和拟合函数的图形. ii三、实验原理数据建模有两大方法：一类是插值方法，要求所要函数甲。)严格遵守从数 据(x , y )，(x , y )，(x , y )；另一类是拟合方法，允许函数)在数据点1 1 2 2 n n 上的有误差，但是要求达到某种误差指标的最小化.第一题拉格朗日插值算法原理%malagr.mfunction yy=malagr(x,y,xx
3、)%用途：拉格朗日插值法求解%格式：yy二malagr(x,y,xx), x是节点向量，y是节点对应的函数值向量, % xx是插值点(可以是多个)，yy返回插值结果 m=length(x);n=length(y);if m=n, error(向量x与y的长度必须一致)；ends=0;for i=1:nt=ones(1,length(xx)；for j=1:nif j=i t=t.*(xx-x(j)/(x(i)-x(j)；endends=s+t*y(i)；endyy=s；end三次样条插值算法原理：%maspline.mfunction m=maspline(x,y,dy0,dyn,xx) %用
4、途：三阶样条插值(一阶导数边界条件)%格式：m二maspline(x,y,dyO,dyn,xx), x为节点向量，y为数据， %dy0,dyn为左右两端点的一阶导数如果xx缺省，则输出各节点的%的一阶导数值，m为xx的三阶样条插值format short;n=length(x)-1; %计算小区间的个数h=diff(x); lambda=h(2:n)./(h(1:n-1)+h(2:n); mu=1-lambda;theta=3*(lambda.*diff(y(1:n)./h(1:n-1)+mu.*diff(y(2:n+1)./h(2:n); theta(1)=theta(1)-lambda(1
5、)*dy0;theta(n-1)=theta(n-1)-lambda(n-1)*dyn; %追赶法解散对焦方程组dy=machase(lambda,2*ones(1:n-1),mu,theta); %若给插值点，计算插值m=dy0;dy;dyn;if nargin=5s=zeros(size(xx);for i=1:nif i=1kk=find(xxx(n);elsekk=find(xxx(i)&xx=x(i+1);end xbar=(xx(kk)-x(i)/h(i); s(kk)=alpha0(xbar)*y(i)+alpha1(xbar)*y(i+1)+.+h(i)*beta0(xbar)
6、*m(i)+h(i)*beta1(xbar)*m(i+1);endm=s;end%追赶法function x=machase(a,b,c,d)n=length(a);for k=2:nb(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);d(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);endx(n)=d(n)/b(n);for k=n-1:-1:1x(k)=(d(k)-c(k)*x(k+1)/b(k);endx=x(:);%基函数function y=alpha0(x)y=2 *x3-3 *x.2+l;function y=alpha1(x)y=-2 *x.3+3 *x2;fun
7、ction y=beta0(x)y=x. 3-2*x. 2+x;function y二betal(x)y=x. 3-x. 2;第二题：多项式拟合算法原理：%mafit.mfunction p=mafit(x,y,m)% 用途：多项式拟合%格式：p=mafit(x,y,m), x, y为数据向量，m为拟合多项式次数，p返回 %多项式系数降幂排列format short;A=zeros(m+1,m+1);for i=0:mfor j=0:mA(i+l,j+l)=sum(x.(i+j);endb(i+l)=sum(x.i .*y);enda=Ab;p=fliplr(a); %按降幂排列四、实验内容第
8、一个方程的程序： x=-5:0.1:5;y=l./(l+x.2);plot(x,y,r)hold on%拉格朗日插值x1=-5:1:5;yl=l./(l+xl2);xx=-4.5:0.5:4.5;yy=malagr(x1,y1,xx);plot(xx,yy,b*)%三次样条插值dy0=-2*(-5)/(1+25);dyn=-2*5/(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);plot(xx,m,ok) 第二个方程的程序：x=-5:0.2:5;y=atan(x);plot(x,y,r);hold on%拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); x
9、x=-4.5:0.5:4.5;yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,b*) %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,ok)第三个方程的程序：x=-5:0.1:5;y=x.A2./(1+x.A4);plot(x,y,r) hold on %拉格朗日插值x1=-5:1:5;y1=x1.A2./(1+x1.A4); xx=-4.5:0.5:4.5;yy=malagr(x1,y1,xx);plot(xx,yy,b*)%三次样条插值dy0=-2*(-5)*(l-54
10、4)/(l+544);dyn=-2*(5)*(l-544)/(l+544);m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);plot(xx,m,ok)axis(-5,5,-0.2,1)第二题：多项式拟合程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;plot(x,y,or); hold on%三次多项式拟合p1=mafit(x,y,3);x1=-1.5:0.1:1.5;y1=p1( 1)* xl3+pl(2) *xl2+pl(3 )* xl+pl(4);plot(x1,y1,.-)
11、%平方误差y11=p1(1) *x3+p1(2) *x.2+p1(3) *x+p1(4);errl二sum(y-y11).2)%五次多项式拟合p2=mafit(x,y,5);x1=-1.5:0.1:1.5;y2=p2(1) *x15+p2(2 )* x14+p2(3 )* x13+p2(4) *x12+p2(5) *x1+p2(6); plot(x1,y2,g)%平方误差y22=p2(1) *x5+p2(2 )* x.4+p2(3) *x3+p2(4) *x.“2+p2(5) *x+p2(6);err2二sum(y-y22).2)五、实验结果第一题第一个方程的图形第二个方程的图形：1.510.
12、50-0.5-115-4-3-2-1012345第三个方程的图形：54002 04 052-0第二题：平方误差：三次多项式拟合的平方误差：errl =1.8571e-004五次多项式拟合的平方误差：err2 =4.7727e-005离散函数( x , y )和拟合函数的图形：ii六、 实验结果分析1、由第一题的三个图可知：拉格朗日插值会出现很大的误差，即Runge现象, 运行的结果不好，但是三次样条插值法的效果就很好，误差很小，接近真实值.2、由第二题的图像知，三次多项式拟合和五次多项式的拟合效果都很好.比较三 次多项式拟合的平方误差：errl =1.8571e-004和五次多项式拟合的平方误差： err2 =4.7727e-005 知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确.
