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1、新编人教版精品教学资料1.2.2 函数的表示法课堂导学三点剖析一、函数的三种表示方法【例1】 作出下列函数的图象：（1）y=2-x,xZ;（2）y=2x2-3x-2(x0);（3）y=思路分析：作函数图象主要有两种思路：利用列表描点法，转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.图1 （2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.图2 (3)这个图象是由两部分组成的，当x1时，为双曲线y=的一部分，当x1时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示
2、.图3温馨提示 1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定. 2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.【例2】 由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 因此3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=a
3、x+5a+b=2x+17,则得 即故函数解析式为f(x)=2x+7.温馨提示 求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.二、根据已知关系,写出函数的解析式【例3】 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右图)，设P点移动的距离为x，ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，ABP各有特征，计算它们的面积也
4、有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.解：如上图，当点P在线段BC上时，即0x4,y=4x=2x; 当P点在线段CD上时，即4x8,y=44=8; 当P点在线段DA上时，即8x12,y=4(12-x)=24-2x. y=f(x)= 且f(x)的定义域是(0,12).温馨提示 分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(xR且x0,a为常数,且a1),求f(x
5、).解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t1 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. f(x)=x2-1(x1).温馨提示 此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式. 解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1, f(+1)=(+1)2-1(+11),即f(x)=x2-1(x1).温馨提示 此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式. (2)af(
6、x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=, 于是得关于f(x)的方程组： 解得f(x)=(a1).温馨提示 本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).三、映射的概念【例5】 下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,xM;(2)设M=平面上的点，N=(x,y)|x,yR，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；(3)设M=高一年级全体同学，N
7、=0,1，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,xM;(5)设M=1,4，9，N=-1,1，-2,2，3，-3，对应关系：M中的元素开平方.思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映射时，才能确定构成从M到N的函数；不是映射的，更不可能构成函数.解：(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射. (2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数. (4)从
8、M到N的对应既能构成映射，又能构成函数. (5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射.温馨提示 1.映射概念中的两个集合A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B必须是非空数集. 2.A到B的映射与B到A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.各个击破类题演练1作出下列函数的图象.(1)y=x,|x|1;(2)y=1-x,xZ且|x|2;(3)y=;解：(1)此函数图象是直线y=x的一部分. (2)此函数的定义域为-2，-1，0，1，2，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x上.(这样的点叫做整点) （3）先求定义域，在定义域上化简
9、函数式y=x,x(-,1)(1,+).如下图所示.变式提升1设x是不超过x的最大整数，作下列函数的图象.(1)f(x)=x;(2)h(x)=x-x,x-2,2.解：(1)f(x)=x=n(nxn+1,nZ),即 f(x)=n(nxn+1,nZ). f(x)=x的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）. (2)h(x)=x-x x-2,2化为 h(x)= h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B）.图（A）图（B）类题演练2已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求
10、f(x).解析：设f(x)=ax2+bx+c(a0), 由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b. 由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1. 故f(x)=x2-x+1.变式提升2求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.解: 作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,ymax=2.类题演练3国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4
11、000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？答案：（1） （2）3 800变式提升3某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？答案：（1）y= （2）y=类题演练4如果f()=,则f(x
12、)=_.解法一:f()=,f(x)=.解法二：设t=,则x=, 代入f()=, 得f(t)=, 故f(x)=.变式提升4已知f()=+,求f(x).解法一：f()=+ =()2-+=()2-=()2-+1, f(x)=x2-x+1.解法二：设=u, 则x=,u1. 则f(u)=f()=+=1+=1+(u-1)2+(u-1). f(x)=x2-x+1(x1).温馨提示 解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.类题演练5（1）下列对应是从A到B的函数的是（ ）A=x|x0,xR,B=R,f:xy2=x A=N,B=-1,1,f:x(-1)x A=
13、三角形，B=圆，f:三角形三角形的外接圆 A=R,B=R,f:xy=x3A. B. C. D.答案：A（2）f:AB是集合A到集合B的映射，A=B=(x,y)|xR，yR,f:(x,y)(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_,b=_.解析：由答案：2 1变式提升5已知集合A=a|a5,aN到集合B的对应法则是“乘3加2”，集合B到集合C的对应法则是“求算术平方根”.（1）试写出集合A到集合C的对应法则f;（2）求集合C；（3）集合A到集合C的对应是映射吗？解析：（1）设xA,yB,zC,依题意y=3x+2,z=,z=, 从集合A到集合C的对应法则是f:xz=. （2）A=a|a5,aN=0,1,2,3,4, C=,2,. (3)因为对于集合A内任一元素x在集合C中都有唯一的一个元素z与之对应，所以A到C的对应法则f是A到C的映射.
