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1、word第二章 概率 总结一、 知识结构连续性随机变量数学期望方差二项分布正态分布事件的独立性条件概率离散型随机变量的数字特征随机变量离散型随机变量超几何分布二、 知识点1.随机试验的特点:试验可以在一样的情形下重复进展；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果2.分类 随机变量如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母、等表示。离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取
2、的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,xi , ,xn X取每一个值 xi(i=1,2,的概率 P(=xiPi，如此称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质： pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 1 一般地，离散型随机变量在某一X围内取值的概率等于它取这个X围内各个值的概率之和。4. 求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中
3、得1分，不中得0分，某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值设离散型随机变量 ，依题可知，X可能的取值为：1,0交代题中所隐含的信息因此所求分布列为：答题即写出分布列 引出二点分布如果随机变量X的分布列为： 其中0p1，q=1-p，如此称离散型随机变量X服从参数p的二点分布 二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，如此它取值为k时的概率为，其中,且如此称随机变量X的分布列为超几何
4、分布列,且称随机变量X服从参数N、M、n的超几何分布注意：1超几何分布的模型是不放回抽样；2超几何分布中的参数是N、M、n，其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量解题步骤： 例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全一样.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,如此X服从超几何分布,其中舍随机变量且交代其服从NMn的超几何分布X可能的取值为0，1，2，3，4, 5.写出x可能的取值由题目可知，至少摸到3个红球的概率为运用公式解题答：中奖概率为0.191.答题条件概率1.
5、定义：对任意事件A和事件B，在事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率2. 事件的交积:由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交或积.记作D=AB或D=AB3. 条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A看作新的根本事件空间,求发生的概率:公式推导过程解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到次品，设事件由题意计算出 P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A)所以，P(B|A) = P(AB)
6、/ P(A)= 2/9 根据条件概率共识计算答：第二个又取到次品的概率为2/9.答题相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件说明1判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A或B发生与否对B或A发生的概率是否影响，假如两种状况下概率不变，如此为相互独立. 2互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. 3如果A、B是相互独立事件，如此A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.说明1使用时，注意使用的前提条件；2此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依
7、据，即P(AB)=P(A) P(B)是A、B相互独立的充要条件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。如此有如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：PA1A2An=PA1PA2P(An)如此称A，B相互独立4. 解题步骤 例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜某某况，记“第一个取出的是白球为事件A，“第二个取出的是白球为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？ 答：不是，因为件A发生时即第一个取到白球，事件B的概率PB=1/3，而当事件A不发 生时即第一个取到的是黑球，事件
8、B发生的概率PB=2/3，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。 证明：由题可知， P(B|A) =1/3， P(B|A的补集)=2/3 因为 P(B|A)P(B|A的补集) 所以 A与B不是相互独立事件 独立重复试验1.定义：在同等条件下进展的，各次之间相互独立的一种试验2.说明：这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的每次试验是在同样条件下进展；每次试验间又是相互独立的，互不影响. 前提二项分布1. 引入:一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好
9、发生k次的概率是 P()Pn(k)是(1-P)+Pn的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.2. 二项分布定义： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 其中 k=0,1, ,n，q=1-p 于是可得随机变量的概率分布如下： 由于恰好是二项展开式 中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p) ，其中n，p为参数，并记：3. 解题步骤 例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布 解：依
10、题意，随机变量B(2，5%) P(=0)= (95%)2=0.9025， P(=1)= (5%)(95%)=0.095， P(=2)= (5%)2=0.0025因此，次品数的概率分布是 0 1 2P几何分布1. 定义： 在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数也是一个取值为正整数的随机变量。 “ =k表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为Ak， p( Ak)=p，事件A不发生记为 ，P( )=q(q=1-p)，那么k=0,1,2,q=1-p.于是得到随机变量的概率分布如下： 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 称服从几何分布，并记
11、g(k,p)=pqk-1离散型随机变量的期望和方差一般地，假如离散型随机变量的概率分布为如此称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量说明：1数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1=p2=pn，如此有p1=p2=pn = ，E=(x1+x2+xn) ，所以的数学期望又称为平均数、均值=E(-E)2=E2E2 3随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量.D=x1-E)2P1+ x2-E)2P2 + + xn-E)2Pn +
12、 叫随机变量的均方差，简称方差。说明：、D 的算术平方根D 随机变量的标准差，记作；、标准差与随机变量的单位一样；、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。集中分布的期望与方差一览期望方差两点分布E=pD=pq，q=1-p超几何分布DX=np1-p* N-n/N-1不要求二项分布 Bn,pE=np D=qE=npq，q=1-p几何分布p(=k)=g(k，p)1/p正态分布 连续型随机变量假如数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线频率组距概率密度曲线总体在区间 内取值的概率产品尺寸mm概率密度曲线的形状特征ab:中间高，两头低正态分布假如概率密度曲线就是或近似地是函数的图像，其中解析式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差如此其分布叫正态分布，记作f
