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1、1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式一般地，假设a,a2,.,an为n个非负实数，它们的算术平均值记为a1a2.ann几何平均值记为Gn1(&a2an)nnaa2.an算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。ala2ann a1a2 an ,A
2、Gn,当且仅当a1a2.an时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一归纳法(1) 当n2时，已知结论成立。(2) 假设对nk正整数k2时命题成立，即对ai0,i1,2,.,k,有1a1a2.ak/n(a1a2.an)k。k那么，当nk1时，由于Ak 1a1a2ak 1id，Gk 1k 1k Jaa2akak 1 ,关于&昌,，ak i是对称的,任意对调 ai与aj (ij), Ak
3、i和Gki的值不改变，因此不妨设a1 min a1,a2,.,ak1 , ak 1max a1,a2,，ak 1显然a|Ak1ak1 ,以及(aAk1)(ak1Ak 1)0可得A1(a1 ak 1A. 1) a1ak 1.所以Ak 15ka2(k 1)Ak 1 Ak 1a1 a2kak(a1 ak 1Ak 1)kak 1Ak 1kk a2ak(a ak 1 Ak 1)即Ak1a2ak(a1ak141)两边乘以Ak1,得A1a2.akAk1(a1ak1Ak1)a2.ak(a1ak1)Gk1从而，有Ak1Gk1证法二归纳法(1) 当n2时，已知结论成立。(2) 假设对nk正整数k2时命题成立，即对
4、ai0,i1,2,.,k,有aa2.akkka1a2.ak。那么，当nk1时，由于学习文档仅供参考aia2.aka-aia2. ak(ak i Gk ikkyaia2akkk/ak iGk i(k2K ka1a2akk 11Gk 1(k.Gki) (k 1)Gki1)Gki1)Gki2k2kG；i1Gk1(k1)Gki(k1)Gki从而，有AkGk1证法三归纳法(1) 当n2时，已知结论成立。(2) 假设对nk正整数k2时命题成立，即对ai0,i1,2，k,有aa2.akkka1a2.ak。那么，当nk1时，由于aia2.akaki证法四归纳法和变换证法五利用排序不等式设两个实数组a,a2，a
5、n和b1,b2，,bn满足a1a2.an;b1b2.bn，则a1b1a2b2.anbn同序乘积之和a1bj1a2bj2.anbjn乱序乘积之和a1bna2bn1.anb1反序乘积之和其中j1,j2，jn是1,2,.,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是qa2.an或b1b2.bn成立。证明：切比雪夫不等式利用排序不等式证明学习文档 仅供参考杨森不等式 Young 设0, 2 0, 12 1 则对 x1 , x20 有x1 1x2 21x12x2等号成立的充分必要条件是x1 x2 。琴生不等式Jensen设yf(x),x(a,b)为上凸或下凹函数，则对任意xi(a,b)(i1,2,.,
6、n)，我们都有1 f (x1)2 f (x2)n f (xn)f ( 1x12 x2nXn)或1 f (x1)2 f (x2)n f (xn)f ( 1x12x2xn )n其中i0(i1,2,.,n)i1i1习题一1.11,设a,bR,-1。求证：对一切正整数ab2.3.4.5.6.7.8.(ab)n设a,b,c(1b)(1nn2nn1ab22R，求证:bc)(1-)2(1ca设Xi,X2,X3为正实数,X2X3x1x2设a,b,c(1a)(1设x,y,z证明:X1/X1、2一(一)X3X2b)(1c)(x2)2X3abc寻abc(x3)2X1求证:8(1a)(1b)(12zX22一xyy设a,b,cR,满足a2b2设a,b,c,d是非负实数，满足b3设n为给定的自然数,记aiaj(1i条件下，m的最大值。abbcc)求证:abcdda1求证:3cdabd3abcn3,对于n个给定的实数n）的最小值为m，求在a2百e2,，an;2a2an21的学习文档仅供参考
