抛物线压轴题

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1、综合题答案1. 如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、 y轴于A、 B两点（OA OB）且OA、 OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在 x 轴负半轴上，且AB： AC=1： 2（ 1）求 A、 C 两点的坐标；（ 2）若点 M从 C 点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设 ABM的面积为S，点 M的运动时间为t ，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A 、 B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由1 答案：2.如图，二次函数 y

2、=ax 2+x+c 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，且 A 点坐标为（ -2，0），与 y 轴交于点 C（ 0，3）（ 1）求出这个二次函数的解析式；（ 2）直接写出点B 的坐标为 _；（ 3）在 x 轴是否存在一点P，使 ACP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由；（ 4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 ABQC 的面积最大？若存在， 请求出 Q 点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由解答 ：解：（ 1 ）y=ax 2+x+c的图象经过A （-2 ， 0 ）， C（ 0， 3 ），c=3 ， a=-，所求解析式为： y=-x2+

3、x+3 ；（ 2）（6，0）；（ 3 ）在 Rt AOC 中， AO=2 ， OC=3 ，AC=，当 P1A=AC时（ P1在 x 轴的负半轴）， P1（ -2-，0）；当 P2A=AC时（ P2在 x 轴的正半轴）， P2 （-2 ，0 ）；当 P3C=AC 时（ P3 在 x 轴的正半轴），P3 （ 2， 0 ）；当 P4C=P 4 A 时（ P4 在 x 轴的正半轴），在 Rt P4 OC 中，设 P4 O=x ，则（ x+2 ）2 =x 2+3 2解得： x=，P4 （， 0）；（ 4 ）解：如图，设Q 点坐标为（ x， y ），因为点Q 在 y=-x2 +x+3上，即： Q 点坐标为

4、（ x，-x2 +x+3 ），连接 OQ ，S 四边形 ABQC =S AOC +S OQC +S OBQ=3+x+3 （-x2+x+3 ）=-x2+x+12 ，a 0 ，S 四边形 ABQC 最大值 =， Q 点坐标为（ 3 ，）。3.如图（ 1），抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0，）图（ 2）、图（ 3）为解答备用图（ 1），点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（ 2）设抛物线的顶点为 M ，求四边形 ABMC 的面积；（ 3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在， 请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（

5、4）在抛物线上求点 Q ，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形解答 ：解：（ 1），A（-1 ，0），B（3，0）（ 2）如图（ 1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结 OM 则 AOC 的面积 =， MOC 的面积 =， MOB 的面积 =6， 四边形 ABMC 的面积=AOC 的面积 +MOC 的面积 +MOB 的面积 =9说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和（ 3）如图（ 2），设 D （m，），连结 OD则 0m 3，0且 AOC 的面积=，DOC 的面积 =， DOB 的面积 =-（）， 四边形 A

6、BDC 的面积 =AOC 的面积 +DOC 的面积 + DOB 的面积= 存在点 D，使四边形ABDC 的面积最大为（ 4）有两种情况：如图（ 3），过点 B 作 BQ 1BC ，交抛物线于点Q1 、交 y 轴于点 E，连接 Q1 C CBO=45 ， EBO=45 ，BO=OE=3 点 E 的坐标为（ 0，3） 直线 BE 的解析式为由解得 点 Q1 的坐标为（ -2，5）如图 14 （ 4），过点 C 作 CF CB，交抛物线于点Q 2 、交 x 轴于点 F，连接 BQ 2 CBO=45 ， CFB=45 ，OF=OC=3 点 F 的坐标为（ -3 ， 0） 直线 CF 的解析式为由解得点

7、 Q2 的坐标为（ 1，-4）综上，在抛物线上存在点 Q1（-2 ， 5）、 Q2（1，-4 ），使 BCQ 1、 BCQ 2 是以 BC 为直角边的直角三角形说明：如图 14（ 4），点 Q 2 即抛物线顶点M，直接证明 BCM 为直角三角形4.如图 1，在 ABC 中， AB=BC ， P 为 AB 边上一点，连接 CP，以 PA、 PC 为邻边作 ?APCD ，AC 与 PD 相交于点 E，已知 ABC= AEP= （0 90）（ 1）求证： EAP= EPA；（ 2） ?APCD 是否为矩形？请说明理由；（ 3）如图 2， F 为 BC 中点，连接FP，将 AEP绕点E 顺时针旋转适当

8、的角度，得到MEN （点M、 N分别是MEN 的两边与BA 、 FP 延长线的交点） 猜想线段EM 与 EN 之间的数量关系，并证明你的结论考点 ：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定。专题 ：证明题；探究型。分析：（ 1）根据 AB=BC 可证 CAB= ACB ，则在 ABC 与 AEP 中，有两个角对应相等， 根据三角形内角和定理，即可证得；（ 2）由（ 1）知 EPA=EAP ，则 AC=DP ，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；（ 3）可以证明 EAM EPN，从而得到 EM=EN 解答 ：（ 1）证明：在ABC 和 AEP 中， AB

9、C= AEP ， BAC= EAP ， ACB= APE ，在 ABC 中， AB=BC ， ACB= BAC ， EPA= EAP （ 2）解： ?APCD 是矩形理由如下：四边形 APCD 是平行四边形， AC=2EA ， PD=2EP，由（ 1）知 EPA= EAP ， EA=EP ，则 AC=PD ， ?APCD 是矩形（ 3）解： EM=EN 证明： EA=EP ， EPA=90 ， EAM=180 EPA=180 （ 90） =90 + ，由（ 2）知 CPB=90 ， F 是 BC 的中点， FP=FB ， FPB= ABC= ， EPN= EPA+APN= EPA+ FPB=9

10、0+=90+， EAM= EPN， AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到MEN ， AEP= MEN ， AEP AEN= MEN AEN ，即 MEA= NEP，在 EAM 和 EPN 中， EAM EPN（ AAS ）， EM=EN 点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键5.提出问题：如图 ，在正方形 ABCD 中，点 P， F 分别在边 BC 、 AB 上，若 AP DF 于点 H，则 AP=DF 类比探究：（ 1）如图 ，在正方形 ABCD 中，点 P、 F、 G 分别在边 BC 、 AB 、

11、AD 上，若 GPDF 于点 H，探究线段 GP 与 DF 的数量关系，并说明理由；（ 2）如图 ，在正方形 ABCD 中，点 P、 F、 G 分别在边 BC、AB 、 AD 上， GP DF 于点 H ，将线段 PG 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PE，连结 EF，若四边形 DFEP 为菱形，探究 DG 和 PC 的数量关系，并说明理由【分析】（ 1）如答图 1，过点 A 作 AM DF 交 BC 于点 M 通过证明 BAM ADF 得到其对应边相等：AM=DF ，则又由平行四边形的性质推知AM=GP ，则 GP=DF ；（ 2）如答图2，过点 P 作 FN AD 与点 N根据菱形的性质、等腰三角形的“三线合一 ”的性质推知DG=2DN，然后结合矩形 DNPC 的性质得到： DG=2PC 【解答】解：（ 1） GP=DF 理由如下：如答图 1，过点 A 作 AM DF 交 BC 于点 M四边形 ABCD 是正方形