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1、中考数学重难点专项讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题常常作为压轴题目浮现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是运用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。因此说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分 真题预测精讲【例1】（，密云，一模）如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同步从点出发沿线段以每秒1个单位长度的
2、速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为什么值时，为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中浮现了两个动点，诸多同窗看到也许就会无从下手。但是解决动点问题，一方面就是要找谁在动，谁没在动，通过度析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，均有一种由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切有关的条件DC,BC长度都是给定的，并且动态条件之间也是有关系的。因此当题中设定MN/AB时，就变成了一种静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出成果。【解
3、析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形， （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的核心） 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的，诸多同窗看到等腰三角形，理所固然觉得是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种状况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘掉分类讨论的思想，两腰一底一种都不能少。具体分类后来，就成为了较为简朴的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种状况讨论： 当时，如图作交于，则有即（运用等腰三角
4、形底边高也是底边中线的性质）， 解得 当时，如图，过作于H则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形【例2】（，崇文，一模）在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重叠）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论与否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表达） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一种条件
5、使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，因此需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是运用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简朴，就是从一般中构筑一种特殊的条件就行，于是我们和上题同样找AC的垂线，就可以变成第一问的
6、条件，然后同样求解。（2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不同样的，因此已给的线段长度就需要分状况去考虑究竟是4+X还是4-X。分类讨论之后运用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ， 点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4，
7、 DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】（，怀柔，一模）已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并阐明理由ADCBPMQ60【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数规定不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1同样是双动点问题，因此就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那
8、个等边三角形与动态条件联系了起来.由于最后求两条线段的关系,因此我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 固然是运用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：是等边三角形是中点 梯形是等腰梯形（2）解：在等边中， (这个角度传递非常重要,人们要仔细揣摩) (设元后来得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很容易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： 为直角三角形当取最小值时，是
9、的中点，而以上三类题目都是动点问题，这一类问题的核心就在于当动点移动中浮现特殊条件，例如某边相等，某角固定期，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是某些具体的图形时，思路是不是同样呢?接下来我们看此外两道题.【例4】，门头沟，一模已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论与否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论与否仍然
10、成立？（不规定证明）【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，规定考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，诸多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的核心所在。连接AG之后，抛开其她条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一种梯形，于是根据我们在第一讲专项中所讨论的措施，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形浮现了。（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连
11、接，过点作于，与的延长线交于点在与中， 在与中， 在矩形中， 在与中， 【思路分析2】第三问纯正送分，不规定证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应当止步于此。将这道题放在动态问题专项中也是出于此因素，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目规定证明，应当如何思考。建议有余力的同窗自己研究一下，笔者在这里提供一种思路供参照：在BEF的旋转过程中，始终不变的仍然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一种和EFG全等的三角形，运用BE=EF这一条件将全等过渡。要想措施证明三角形ECH是一种等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，运用角度变换关系
12、就可以得证了。（3）（1）中的结论仍然成立 【例5】（，朝阳，一模）已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一种动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B 处（1）当=1 时，CF=_cm，（2）当=2 时，求sinDAB 的值；（3）当= x 时（点C与点E不重叠），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）CADB【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，因此也是一道很明显的从一般到特殊
13、的递进式题目。同窗们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，因此轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，因此要运用这些来获得线段之间的比例关系。特别注意的是，本题中给定的比例都是有两重状况的，E在BC上和E在延长线上都是也许的，因此需要人们分类讨论，不要漏掉。图1【解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2） 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF设MA=MF=k，则MC=k -3，DM
14、=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（设元求解是此类题型中比较重要的措施）图2 sinDAB=； 如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N，同可得NA=NE设NA=NE=m，则B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）当点E在BC上时，y=； （所求A B E的面积即为ABE的面积，再由相似表达出边长）当点E在BC延长线上时，y= 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这样几种也许的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,因此难度不言而喻,但是但愿考生拿到题后来不要慌张,由于无论是题目以哪种形态浮现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只
