《傅立叶展开与傅立叶变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅立叶展开与傅立叶变换（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、傅立叶展开与傅立叶变换1傅立叶展开对于周期为2沢的周期函数f G)，可展开为=ao +cos nx + b sin nx)2nn=1函数系存1cos x, sin x , cos 2xsin 2 x在匚兀,兀上满足正交性1 1dx = 12 2 卜 sin2 nx =0一兀卜 sin mx cos nxdx =0兀兀卜 cos2 nx =0兀一兀m 丰 n,丄 J sin mx sin nx =0丄卜 f (x)cos nxdx一兀1 fm 丰 n, JK cosmxcosnx =0一兀丄卜 f (x )sin nxdx = b一冗对于任意周期为T = 2l的周期函数f (x),f (x )=
2、 a0 +区2可展开为函数系丄，丄F兀兀cosldx = 1x , sin x , ln a cosnn=1 2cosx + b sinnl.2sin x，lx 丿在匸l, l 上满足正交性*2 0xdx = bn 1n1 fm 丰 n, JK cosmxcosnx =0兀一兀2傅立叶变换对于无周期的函数f (x)，其定义在C J上，可看作为T = 2l的周期函数取 l t g的极限。n兀了 . n兀)a cos x + b sin x n 1 n 1 丿J1 f (x )sin 巴-xdx = b1 11 nn兀os / dt再取二罕n l 则 f (x )f (x )= ao+马2 n)J
3、1 f (x )cos xdx = a1 1 1 f (x )= 1 J1 f Qdt + 1 Zj1 f (t )c1 111n=1 当 1 T8 时， 丄 Af ()dt T 01 1A兀,Am = n 1=1 刃 1 f () cos m ( - x)dt1 n=1-1=丄 ZB() cos m ( 一 x)dt 兀I /n丿=J8 dm J8 f (t )cos m(t x)dt 兀0-8定义傅氏积分:f (x)= J8 dm J8 f (t )cos m(t x)dt兀0-8傅立叶定理：若函数f G)在任意有限区间上满足狄利克雷条件，且在区间 (-8, 8)内绝对可积，则f G)的傅
4、氏积分在(-8, 8)上处处收敛，且有 丄J8mJ f Qcosm( x)dt = f + o)+ f 一 o) 兀0-8此式称为傅氏积分公式。利用欧拉公式，此公式可写为复数形式：()() 丄 J8 dmJ8 f (丄讽x)dt = f C + 0)+ f C - 0) 兀8 8当f G)在x处连续时，则f G)在x处的傅氏积分就等于f G)。f (x)= J8 dm J8 f ( Lmx )dt兀 88iwtdt e-iwxdw 丿=J8 fJ8 f C)e8 82 兀8 8F(m)= J8 f (xLsdx8f (x)=J8 F(mLsdm兀8F6)被称为f (x)的傅氏变换，f (x)被称为F6)的傅氏逆变换。
