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1、圆锥曲线三种弦长问题的探究在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究：一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆C:+，直线l:-二1被椭圆C截得的弦长为2J2,a2b21ab且e=，过椭圆C的右焦点且斜率为J3的直线/被椭圆C截的弦长AB,32求椭圆的方程；弦AB的长度.思路分析：把直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.2解析：（1）由l被椭圆C截得的弦长为2J2，得a2+b2二8，1又e=空，即=，所以a2二3b2.3a23x2y2联
2、立得a2二6,b2二2，所以所求的椭圆的方程为石=1.椭圆的右焦点F（2,0）,.l的方程为：y=、拓（x2）,代入椭圆C的方程，化简得，5x2-18x+6二0由韦达定理知，X+XXX二6125125从而卜-X?由弦长公式，得AB=J1，k2X一X121,即弦AB的长度为4|6点评：本题抓住l的特点简便地得出方程，再根据e得方程，从而求得待定系数a2,b2，1得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例2、过点P(4,1)作抛物线y2，8x的弦AB,恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直
3、线方程关键是求出斜率k，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x,y),B(x,y),1122则有y2，8x,y2，8x,两式相减，得(y-y)(yy)=8(x-x)1122121212又xx，&yy，21212则k，2壬，4，所以所求直线AB的方程为y-1，4(x-4)，即4x-y一15，0.x-x21解法2：设AB所在的直线方程为y，k(x-4)1y，k(x-4)+1由s，整理得ky2-8y-32k+8，0.y2，8x设A(x,y),B(x,y)，由韦达定理得y+y，112212ky+y8又TP是AB的中点,.2，
4、1,.丁，2nk，42k所以所求直线AB的方程为4x-y-15，0.14x-y-15，0由Iy2,8x整理得，y2-2y一30，0，则y1+y2，2,y1y2，-30有弦长公式得，AB，y1-y2，J1+xJG+y?-4y2，5272点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、(同例1、)另解：.椭圆的右焦点F(2,0),.l的方程为：y，話3(x-2),2y，羽(x-2)代入椭圆C的方程Ix2y2，化简得，5x2-18x+6，0，162由韦达定理知，18xx=,xx12512由I?过右焦点，有焦半径公式的弦长为|AB|=2a-e,xx)=空6.25即弦AB的长度为4J6丁点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.
