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1、数字信号处理第一次大作业奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告专 业：信息对抗技术学生姓名:石星宇02123010指导教师：吕雁奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告1一、奈奎斯特采样定理11、奈奎斯特采样定理说明12、信号的采样与恢复13、相关代码34、关于奈奎斯特采样定理的一些问题5二、信号稀疏采样51、为什么要提出信号的稀疏采样52、压缩感知概述63、压缩感知基本概念64、压缩感知仿真75、压缩感知仿真程序8三、总结9四、参考资料10奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告一、奈奎斯特采样定理1、奈奎斯特采样定理说明采样过程所应遵循的规律，称为取样（采样）定理、抽样定理。采样定理说 明采样
2、频率与信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率f大于等于信号中最高频S率f的2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，可由采样C得到的数字信号恢复原来的模拟信号。一般实际应用中保证采样频率为信号最高 频率的510倍。采样定理又称奈奎斯特采样定理。将f、= 2 fc称为奈奎斯特频 率。2、信号的采样与恢复结合实例，说明奈奎斯特采样定理与内插恢复的应用。假设有模拟信号X）=cos2酒尸cos2酒J，其中fi = 20Hz, f2 = 50Hz。该信号波形及频谱如下图所示:600模拟信号频谱400200-200-1000100200f
3、7Hz0 *300300对信号X)=cos2气t + cos2吧t以采样频率为f = 2f2 = 100Hz进行采样，得 到如下所示的离散 时间信号，即序列 M)= cos2fnT + cos2fT，其中 1 s2 sT = 1/ f。ssn该序列的频谱如下:由此可见，采样过程对原始信号的频谱有一定的影响。但是随着采样频率的 逐渐增加，会使得采样信号的频谱与原始信号的频谱逐渐接近。现在利用内插公式对采样得到的离散时间信号进行恢复。定义内插函数为/、sin - T M )=七兀ETt则x（t）= x（nT）*M）=切x（nT决-nT）（丁辛诅供。）/ T=，xnT兀k - nT ）/ Tn=-s
4、根据上式，便可由采样得到的序列x（nT）完整的恢复出原始信号x.C）。下面给出 利用MATLAB计算的结果:从上图可以看出，利用内插公式，完整地将原始信号恢复了出来。3、相关代码close allclear allclcdf=0.5; %频率分辨率tp=1/df; %保证df所需的信号持续时间t=linspace(0,tp, 102 4); %连续时间变量f1=20;f2=50;% 信号频率fc=max(f1,f2); %信号最高频率fs=2*fc; %米样率ts = 1/fs; %米样间隔N=2八ceil(log2(fs/df);n=1:N;xa=cos(2火pi*f1*t)+cos(2火p
5、i*f2火t); %模拟信号xn=cos(2火pi*f1*n*ts)+cos(2火pi*f2火n*ts); %模拟信号plot(t,xa,r) hold onstem(n*ts,xn, b)legend(模拟信号，采样信号)title(模拟信号和采样信号)xlabel(t),ylabel( x(t)axis(0 tp/2 min(xa)-0.2 max(xa)+0.2)figure(2)subplot(211)fftxa=fft(xa);fa=0.5*(-length(t)/2:length(t)/2-1火fs/length(t);plot(fa,fftshift(abs(fftxa), r)
6、 %模拟信号频谱title(模拟信号频谱)xlabel(f/Hz)subplot(212)fftxn=fft(xn);fn=0.5*(-length(n)/2:length(n)/2-1火fs/length(n);plot(fn,fftshift(abs(fftxn) %采样信号频谱title(采样信号频谱)xlabel(f/Hz)xaa=zeros(1,length(t);for tt=1:length(t)%计算采样内插值 xaa(tt)=0;for n=1:Nxaa(tt)=xn(n)*(sin(pi*(t(tt)-n*ts)/ts)/(pi*(t(tt)-n*ts)/ts)+xaa(t
7、t); endendfigure(3)plot(t,xaa,b)title(采样内插恢复信号)xlabel(t/s),ylabel(x(t)axis(0 tp/2 min(xaa)-0.2 max(xaa)+0.2)4、关于奈奎斯特采样定理的一些问题假设模拟信号为X.0= cos2兀* f1= 20Hz，用奈奎斯特频率对其采样，发 现采样点处的取值均为零(如下图)，因此用这些采样点是无法恢复原始信号的。这也就是为什么实际中采用的采样频率要大于奈奎斯特频率的原因。此外， 实际中我们处理的信号不可能是简单的正弦信号，因此遇到采样点均为零的情况 几乎不可能，上述只是一个特例。二、信号稀疏采样1、为什
8、么要提出信号的稀疏采样首先考虑奈奎斯特采样定理的几点缺陷：(1) 采样率不得低于信号最高频率的两倍，这使得硬件系统面临很大的采 样速率压力；(2) 在压缩编码过程中，为了降低存储、处理和传输的成本，大量变换计 算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。综合上述两点，人们便提出这样的问题：能否利用其它变换域描述信号，建 立新的信号描述和处理理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于奈 奎斯特频率的频率去采样信号，同时可以完全恢复信号？答案是肯定的，这就是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和 D. L. Donoho 等 科学家在2004年提出的压
9、缩感知理论（Compressed sensing）o2、压缩感知概述压缩感知（Compressed sensing），也被称为压缩采样 （Compressive sampling），稀疏采样（Sparse sampling）。它作为一个新的采样理论，它通过开 发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的 离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一是信号的稀疏结构。另外一点 是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将 信号压缩成较小的样本数据来完成。用数学模型对压缩感知的主要内容进行如下描述
10、：（1）信号稀疏表示问题（稀疏变换）：对于信号s e RN，如何找到某个正交基中，使其在中上的表示是稀疏的（2）信号低速采样问题（非相关测量）：如何设计一个平稳的、与变换基中 不相关的M x N维的观测矩阵，保证稀疏向量9从N维降到M维时重要信息 不遭到破坏（3）信号重构问题（重构算法）：如何设计快速重构算法从线性观测y =中中9 = 09中恢复信号。3、压缩感知基本概念设信号s e R是一维实值离散信号，在正交基（稀疏基）中上可以稀疏表示，即sG） s（2） :=中。_ s0 ）其中中=、|中2|.|中中,G=S,2，.ND是Nx 1的向量，稀疏系数 七=,：s,中=中尸。当信号在稀疏基上只
11、有K个非零系数时，属于严格稀疏的情 况。多数情况下信号无法满足严格稀疏的要求，但仍具有可压缩性，即信号的变 换系数经排序后以指数级衰减并趋近于零时，信号是可以近似稀疏表示的。测量矩阵有观测波形和采样方式决定。观测波形一般包括独立同分布的高斯 随机波形、伯努利随机波形和正交函数系等；采样方式包括均匀采样、随机采样 和jitter采样。将信号s投影到一组测量矩阵中=*% 虬】上，则测量值 ym =( s, ”j,即：y M 广中 M X N、1 *12 MxN 中nx/ 1Nx1还 M x N 6 1N x1也即y = 06重构算法是压缩感知的另一个关键因素。目前的重构算法有贪婪算法(又称 匹配追
12、踪(Matching Pursuit，MP)，正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)、凸优化算法(最小l1范数)和统计优化算法(Sparse Bayesian)等。4、压缩感知仿真与奈奎斯特采样定理仿真相同，仍然设模拟信号X)=coslft + coslft，对其进行压缩感知采样并重建，并与原始信号对比如下：程序同时给出重构误差0.1032。需要注意的是，每次运行程序所得的重构误差是 不同的，是因为信号的重构过程中有随机因素在里面。5、压缩感知仿真程序%1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)%测
13、量数M=K*log(N/K),K是稀疏度，N信号长度，可以近乎完全重构% 编程人-香港大学电子工程系 沙威 Email: wshaeee.hku.hk% 编程时间：2008年11月18日% 文档下载： http:/www.eee.hku.hk/wsha/Freecode/freecode.htm% 参考文献： Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching% Pursuit， IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION T
14、HEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007.clc;clear% 1.时域测试信号生成K=7;%稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;%信号长度M=64;%测量数(M=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=20;% 信号频率1f2 = 50;%信号频率2fs = 100;% 采样频率Ts = 1/fs; % 采样间隔n=1:N;% 采样序列x=cos(2*pi*f1*n*Ts)+cos(2*pi*f2*n*Ts) % 完整信号，由 2 个信号叠加而来% 2.时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);%测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵s=Phi*x.;%获得线性测量，s相当于文中的y矩阵% 3.正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的 所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。m=2*K;% 算法迭代次数(m=K)，设x是 K-sparse 的Psi=fft(eye(N,N)/sqrt(N);% 傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi;% 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);%待重构的谱域(变换域)向Aug_t=;阵)
