数的基本原理与方程(教育精

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1、 数的基本原理与方程【基础知识】1若,则为有理数;2若,且,则整除;3若,且互质,则对,有与互质;4若,且,则5唯一分解定理【方法指导】与整数有关的方程问题常用求解策略:1缩小范围,逐一检验;2利用整除性分析(因式分解,或表示为分数形式);3利用余数;4利用数的有理性有时需要综合运用多种方法【典型例题】1已知,试求所有的正整数,使得为中的项.2若,且,则_.分析:为偶数,从而为奇数,故为的约数,又31是质数,即当时,是整数.3设正整数数列是等比数列,其公比不是整数,且,则可取到的最小值为_.分析:由题意,必为有理数,又不是整数,且,故可设,其中,且互质,又,故,因为互质,所以整除,注意到,故,

2、易知存在使.4设,求最小的,使.5已知等差数列的公差不为0,等比数列的公比是小于1的正有理数.若,且是正整数,则等于 .6是否存在,使?分析:因为为奇数,而为偶数,所以上式无解7已知,当时,方程是否有解?分析:若,原式可化为,或1(舍),;若,原式可化为,若,则左边,右边;若,则;若,则,故不能成立8已知,是否存在正整数,使得成等比数列?解:若存在,则,又,满足题意9是否存在且,满足? 分析:若,原式即,因为,所以,从而,而,故式不成立;当时,易求得,只需令,即时,有,又易证满足综上,当时,不存在,满足题设条件;当时,存在,满足题设条件10设,是否存在,使得,是等差数列?解:,若存在满足题意,

3、即=,整理得解法1,从而,故,化简得,这显然不可能解法2:由去分母得,两边同除以,得,左边除以3余2,而右边是3的整数倍,显然不能相等11已知数列的前项和为,且,求满足的所有正整数.解:易知,由1)时不满足2)时, I)时,;II)时,;又,.故不存在III)时,从而,即,或,又舍;舍.综上,.12是否存在且,使得? 分析:注意到左边为有理数,而,或时,右边为无理数,不满足;若,则,若为有理数,则,又,故13已知,试求出所有的有序正整数对,使得.14求证:对于一个给定的正整数,存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列解:设为等差数列,公差,且,若中存在

4、三项成等比数列,即,即,整理得,因为,若,则,易知,与题意矛盾!故,必为有理数,从而当为无理数时,中任意的三项均不能组成等比数列15等差数列的首项为,公差为,等比数列的首项为,公比为(均为正整数)若,且至少存在三个不同的值使得等式成立,试求最小的及相应、的值解:由得:,由得:;由得:,而,即:,从而得:,当时,不合题意,故舍去,所以满足条件的又,故,即: 若,则,不合题意; 若,则,由于可取到一切整数值,且,故要至少存在三个使得成立,必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数,故满足条件的最小整数为12,所以的最小值为,此时或或1216已知数列各项为正,且满足.(1)设求证:为等比数列;(2)求的通项公式;(3)设,求,并确定最小的正整数,使为整数.解: ,由于27与64互质,故为整数,当且仅当为27的倍数,注意到与中有且仅有一个为3的倍数,故是27的倍数,当且仅当或是27的倍数.又显然,由,故最小的.点评:对于一些基本的原理,如不能运用公式、符号来表示,请使用必要的文字说明!

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