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1、立体几何专题 : 球的组合体一、棱锥的内切、外接球问题例 1. 正四面体的棱长为a ，则其外接球和内切球的半径是多少？例 2设棱锥MABCD 的底面是正方形，且MAMD ， MAAB ，如果AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图 2练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。二、球与棱柱的组合体问题图3图4图 51. 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。如图 3，截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 Ra；22. 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点
2、，如图4 作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R2 a 。23.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面 AA1 作截面图得，圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R A1O3 a 。2例 3.在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C . 如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，且PAPBPC a , 那么这个球的表面积是 _.练习：一棱长为 2a 的框架型正方体， 内放一能充气吹胀的气球， 求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球
3、心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例 4. 已知正三棱柱ABCA1B1C1 的六个顶点在球O1 上，又知球O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切，求球O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。图 6练习：正四棱柱ABCDA1 B1C1 D1 的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。 （答案为：42R 2 ）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。练习题：1、 已知三棱锥PABC 的四个
4、顶点均在半径为1 的球面上， 且满足 PA 、 PB 、 PC 两两垂直，当 PCgAB 取最大值时，三棱锥O PAB （ O 为球心）的高为 _。uuur uuuruuuruuurABD 沿 BD折2、 在平行四边形ABCD 中， ABgBD0，2| AB |2| BD |2 6，若将成直二面角ABDC ，则三棱锥ABCD 外接球的表面积是_。3、 在四面体ABCD 中， ABCD4 ， BCACADBD5 ，则此四面体外接球的表面积为_。4、 如果长方体ABCDA BC D 的顶点都在半径为9 的球 O 的球面上，那么长方体1111ABCDA1B1C1 D1 的表面积的最大值是_。5、 已
5、知 SC 为球 O 的直径， A 、 B 为该球面上的两点， AB 2 ， ASCBSC，4若棱锥 ASBC 的体积为 4 3 ，则球 O 的体积为 _。36、已知 A、 B、C、 D四点均在半径为29的球面上，且 AC BD13 ，2AD BC5 ， AB CD ，则三棱锥 DABC 的体积为 _。7、 在三棱锥S ABC 中， ABBC， AB BC2，SA SC 2，AC的中点为 M ，SMB 的余弦值为3 ，若 S、 A 、 B 、 C 在同一个球面上，3则该球的表面积为_ 。8、 已知三棱锥PABC 的各个顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在 AB 上，ACPO面 ABC ，3
6、 ，则三棱锥的体积与球的体积之比为_。BC9、 已知正六棱柱的12 个顶点都在一个半径为3 的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高为 _。10、已知三棱锥SABC 所有的顶点都在球O 的球面上， SA面 ABC ，SA23 ， AB1， AC2 ，BAC60 ，则球 O 的表面积为 _。11、已知三边长分别为4、5、 6 的ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P ABC 的体积为 _。12、已知三棱锥PABC 中，BPC90 ， PA面 BPC ，其中 AB10 ，BC13 ， AC5 ， P、 A、 B、 C四点均在球O的
7、球面上，则球O的表面积为 _。13、已知三棱锥PABC 的四个顶点均在半径为3 的球面上，且PA 、 PB 、 PC 两两垂直，则三棱锥PABC 的侧面积的最大值为_。14、在矩形ABCD 中， AB4 ， BC3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 外接球的体积为_。15、设三棱柱ABCA1 B1C1 的侧棱垂直于底面，ABAC2 ，BAC90 ，AA12 ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_。16、在三棱柱ABCA1 B1C1 中，已知 AA1面 ABC ， AA12 ， BC2 3 ，BAC90 ，且三棱柱的六个顶点都在同一球面上
8、，则球的体积为_。17、在平面四边形ABCD 中， ABADCD1， BD2 ， BDCD ，将其沿对角线 BD 折成四面体ABCD ，使面 ABD面 BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为_ 。18、已知三棱锥S ABC，侧棱SA SB、SC两两垂直，SAB、SBC、SAC 的面积分别为1、 3 、 3，则此三棱锥外接球的表面积为_。219、球 O 的球面上有四点S、 A、 B、C，其中 O、 A、 B、C四点共面，ABC 是边长为 2 的正三角形，平面SAB平面 ABC ，则棱锥SABC 的体积的最大值为_ 。20、四棱锥SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，记该球为球O ，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积最大时，其表面积等于443 ，则球 O 的体积为 _ 。21、如下图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_。34222、如上图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为 _。
