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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学学习要让学生“经历过程数学学习要让学生经历过程数学学习要让学生“经历过程”北师大附中 佟晓凤 数学学生创新能力的培养是时代赋于素质教育的一项迫切任务。所以要培养学生的创造性思维，数学教学必须是“再创造、再发现”的教学，尽可能地让学生生动活泼地参与教学活动。 数学学习是一个动态的过程。数学课程标准在关于课程目标的阐述中，首次大量使用了“经历（感受）、体验（体会）、探
2、索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了数学学习对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。具体而言，就是在数学学习的过程中，要让学生经历知识与技能形成与巩固过程，经历数学思维的发展过程，经历应用数学能力解决问题的过程，从而形成积极的数学情感与态度。一.激发学生的创新意识和思维的积极性著名科学家爱因斯坦说：“热爱是最好的老师”。苏霍姆林斯基说：“知识本身就是一种最令人讶异和感到神奇的过程，能激起高昂而持久的兴趣。”在教学中教师要善于调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣和求知欲望，使学生处在积极主动的学习情境中，鼓励学生大胆提出自己的发现，即便是错误的发现。再加以精讲、
3、精炼，使思维充分活跃，课堂气氛活而有序，课堂内高潮迭起，充满吸引力，每节课的教学，都应该设计成为学生进行数学知识的“再发现、再创造”过程，从而培养学生创新意识和问题的探索过程。波利亚曾说：“在证明一个定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”“从具体问题出发，通过观察实验建立猜想，经过分析论证概括出规律，再深化应用指导解决具体问题”的数学知识形成过程是培养学生创新意识的一种教学思想 。 如在等比数列的前n项和公式的教学中，可以用希腊在项目模拟象棋谱运麦子的故事展开：假设要在棋谱第一格方一粒麦子，第二个格放两粒麦子，从第三个格开始，缩放的麦子数是前一格的
4、二倍，则把国库力的麦子全部运完仍不能按要求放满棋谱。问：增杨计算又如此规律的麦子的总数？从而激发迫切寻求等比数列前祥和公式的欲望；另一方面，对适度的困难，恰当的运用鼓励、表扬手段，引导学生克服困难，获得解决问题的愉悦心理，从而提高学生思索的兴趣。问题打破了学生原有的思维定势，使学生感到新奇、疑惑，点燃学生思维的火花，激起学生思维的内驱力。特别是，当疑问解开，获得成功后，学生会从成功的喜悦中感到自己的力量，增强学好数学的信心，进一步培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。二、经历数学知识形成的过程弗赖登塔尔曾经说：“学一个活动的最好方法是做。”学生的学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的做才可
5、能是有效的。数学知识，大体上指数学概念、数学命题、数学方法和数学史知识四类。数学知识的形成是一个漫长的过程，其间含着人们丰富的创造性发挥。学生学习数学知识，就是掌握前人的经验，进而转化为自己的精神财富，经历着复杂的认识过程。中学生思维的具体性与直观形象性，决定了在数学学习中要给他们提供充分的感性经验，使他们经历数学知识形成的过程，从而更好地形成抽象的数学概念，获得新的数学知识。教师要根据数学知识的发生形成过程，引导学生积极思维，讨论交流，完成创新过程。例如：在三垂线定理教学的问题及问题情境创设中，除了应该重视定理的证明及应用这些演绎过程外，还必须充分重视三垂线定理的猜想、发现、归纳过程的教学。
6、在“平面内有无直线L与平面的一条斜线垂直？如果存在的话，说明原因：如果不存在的话，说明为什么。”的问题背景下，学生逐渐经历了概念的形成与发展过程：(1)学生通过摆模型、做试验，并猜想出在平面内存在特殊的过斜足与平面的斜线L垂直的直线a；(2)学生运用计算机试验与演示，发现过斜足的直线a绕斜足在平面内旋转时，a与L的成角不断由小到大和由大到小连续变化，其中一定存在一个a与L成直角的位置，从运动的观点进一步分析出猜想可能成立：(3)学生在直观猜想分析的基础上，检索出解决有关“垂直”问题的直线与平面垂直的判定定理与性质定理，从理性的高度进一步论证自己发现、猜想的正确性：(4)在问题的深入分析中，学生
7、又会发现，在平面内与斜线L垂直的直线a有无数条，有的与斜线L相交垂直，有的与斜线L异面垂直；(5)学生自己归纳、概括出三垂线定理后，在“从上述过程中你还能发现更多的结论吗？”的问询中，学生又“再创造”出三垂线逆定理；(6)在三垂线定理及其三垂线逆定理的变式应用中，学生不断深化对定理的认识，升华出“三垂线定理及其三垂线逆定理，是平面的一条斜线与平面内直线垂直的判定与性质”的实质性认识。提出问题： 直观观察 建立猜想 平面内存在与平面的 通过模型和计算机试验斜线垂直的直线吗？ 试验归纳 和演示猜想可能存在升华认识： 分析综合 形成命题：三垂线及其逆定理的 揭示内涵 三垂线及逆定理的 作用和实质是什
8、么？ 各类语言表达 让学生自己亲身经历知识的形成过程，自己“再发现”、“再创造”出三垂线定理及其逆定理，不但可以激发学生学习的热情，使学生对知识的获得深刻的认识，而且在“再发现”、“再创造”的过程中，更深切的领略从特殊到一般、从具体到抽象的认识规律和立体化平面、未知化已知的数学思想方法的巨大威力。 数学课堂教学的主线式思维能力训练。思维力是思维智力的核心，又是智力活动的方式和方法，思维能力训练的任务是激发思维动机，发展思维形式，遵循思维规律，交给思维方法，培养思维品质。数学教学应引导学生通过展示斯未来获得知识，暴露学生在思维活动中的困难、障碍、错误和疑问，寻找学生思维的闪光点、创造性思维的火花
9、。 三、经历数学技能形成的过程数学技能是在数学学习过程中，通过训练而形成的一种动作或心智的活动方式。因而，数学技能可以分为心智活动技能（如数的计算技能等）和动作技能（如测量技能等）两类。在数学技能的学习中，主要涉及的是数学心智活动技能，下面就以几何画板为例，谈谈如何让学生经历数学技能形成的过程。全课可以进行如下设计：第一步，创设情境，提出问题。比如，三角形中位线有什么性质？第二步，探索尝试，寻找方法。打开几何画板，用线段工具画一个三角形，做出中位线，度量出线段长度和角的大小，拖动三角形任意点，你会发现你的猜想正确。 从上面的教学设计我们可以看出，学生在掌握几何画板猜想性质的过程中，经历了探索与
10、创造，充满了欣喜，也充满了曲折，正是由于经历了这样的过程，学生对几何画板的使用有了切身的体验，更清晰的认识到几何画板的意义及优越性。数学技能的形成与发展是一个渐进的过程，它遵循着“懂用熟巧”的进程。数学技能的形成又要以知识的理解为前提，因此，在数学教学中，教师要尽可能地让学生经历数学技能形成的过程，理解数学技能本身的意义，再辅以必要的练习（都必须具有一定的理解性），才能使整个数学技能的形成和发展成为积极的智力活动方式。四、经历数学思维发展的过程所谓数学思维，就是以数和形为思维对象，以数学的语言和符号为思维的载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。数学思维的方式很多，有发散思维与收敛思维、
11、正向思维与逆向思维、直觉思维与逻辑思维、再现性思维与创造性思维等。数学教学是培养学生思维能力的教学。在教学过程中充分展示思维过程，让学生主动参与，积极思考，从中学会分析、掌握方法。1实现了发散思维与收敛思维的和谐 例如在对数函数的概念和性质的应用的两节课中，第一节完全采用学生自编练习自己求解的做法，学生不仅编出各种同底数不同的真数、同真数不同底、不同底数不同真数的对数式的比较大小问题，其中既有数字题目又有含字母的题目，既有已知对数式比大小的问题，又有已知大小求自目范围的问题，而且还一题多解、一题多变，深刻促进了学生对有关内容的掌握。 第二节课我又改变了以往老师出题学生做答的死板模式，采用让学生
12、分组明确目标、制定研究方案、划分任务，独立开展研究，发布研究成果的方式，研究一个函数的性质。学生在寻求答案的思维的过程中，展现自己的才华，这个过程，像机器启动一样，是慢慢展开的。学生的语言描述恰好是很好的思维过程的展示，最后让学生评选出最优解法，实现了发散思维与收敛思维的和谐结合。在这样的学习过程中，学生相继经历了发散思维和收敛思维的过程，这个过程同时也是创造性思维（心理学指出：完整的创造性思维应包括发散思维和聚合思维两个方面）形成与发展的过程。2 行变式练习，培养思维的创造性。著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围招一招，
13、很可能附近就有好几个。”创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质，克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间。教师结合典型例题，着意设计阶梯式的问题，引导学生的思维想纵深拓广。如讲完例题“设a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证： + + 9”后，保留原题条件，可变换出下列几道逐级深化的题目让学生证明：变式1：a+ b +c9abc;变式2：（1-a）(1-b)(1-c) 8abc;变式3：（-1）(-1)(-1) 8:变式4：abc :变式5：（+1）(+1)(
14、+1) 64；变式6：a+ b +c；变式7: a +b +c;促进学生数学思维的发展，是数学教学的一个重要目标。在数学课堂教学中教师应让学生充分展示思维形成发展的过程，并学会与他人交流思维的过程和结果，从而提高数学思维能力。五、经历数学能力应用的过程 发展学生的数学能力，是数学学习目标的另一个重要组成部分。从数学学习本身来说，数学能力直接参与其中并起着重要的作用，它是学生获得数学知识技能的必要前提，同时，它又是在数学活动中发展起来的。 因此，要在数学学习活动中形成和发展数学能力，就不能只停留在表面，而要通过对它们的运用，并与以往学过的知识技能进行综合分析，使学生亲身经历运用数学能力解决问题的
15、过程，才能有利于进一步的数学学习。 例如，在高年级学生学习了“面积和体积”的知识后，可以让学生设计出他们的理想卧室，学生兴趣盎然。在这个练习中，学生的设计受到尺寸和价格的限制。他们必须先做好地面的设计，包括家具摆放的位置，还要选择适合室内空间的地板覆盖物、粉刷墙壁和天花板的涂料、空调和供热设备等。他们设计好图纸后，有的去建材市场咨询地板和油漆价格，有的在网站上查找空调的型号、功率、价格活动的结果令人惊喜，他们已经开始评价布局的合理性、物品的性能价格比、美观与实用的关系等。在这一活动中，学生既要将已学知识应用到实际中去，又要考虑实际生活中的各种问题，这就大大提高了学生解决实际问题的能力和创造力。对上述应用数学能力解决问题的评价，应着眼于以下几个方面：包括测量长度的能力及用平方米和立方米计算面积和体积的能力；计算百分比的能力以及准确乘法和小数加法的能力；按比例绘制地面平面图的能力；合理
