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1、盐城师范学院毕业论文（设计）浅谈中学数学中极限思想的应用孙鹏鹏1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地
2、运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向.1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的
3、定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓，就是指“如果对任何，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立”.这个定义，借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的
4、面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以为半径的圆，我们给这个圆作条半径，如图1-2所示. 图1-1 图1-2这样我们就可以发现，圆的面积是由个小扇形相加得来.这时你会发现，当不断增大时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧，高为圆的半径.我们知道三角形的面积为,则整个圆的面积为 由于 带入即可得出圆面积的近似值为：，当越大时越精确，当即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的
5、思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数的图像.分析 函数的定义域为.且为奇函数，因此可以先做出时的函数图像.（1）当时，由基本不等式可得，当且仅当时；（2）当 时，所以是的一条渐近线；（3）当时，所以也是的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于
6、研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数的最值.分析 注意到函数表达式可以变形为：从数形结合的角度来看，函数值可以看成做是平面直角坐标系中轴上的动点到两定点、的距离之差，即（如图2-1），由平面几何的知识，易得当移动到(在线段的延长线上)点时值最大.下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：当在如图中（线段的垂直平分线与轴的交点）右侧移动时；当在与中间移动时；当在左侧移动时. 图2-1 图2-2下面我们先看时由于，不妨记，图2-2中，点、均在的右侧（其中又在的右侧）.我们来比较与的大小，移项之后即比较与的大小.设与相交于点,则有即 所以当在
7、右侧向右运动时，的值越来越大，下面我们讨论有无最大值.上面已知 于是当时，的值越来越大的趋近于，但是永远都不可能达到，即没有最大值.但是，即.所以在第情况下的取值范围为.同理，在第种情况下，当在左侧时，讨论.计算可得的取值范围为.在第种情况下，当在与之间且由向移动时，值不断增大，所以的取值范围为.综上所述，本题的值域为，即无最小值，最大值为.本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列
8、问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是等比数列的求和公式是要分情况的，即和的情况.这样最简单的等比数列常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面的情况，讨论时，的极限. 这也就是说，时的就是时的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列中，满足，且对任意自然
9、数总有，问是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数、，满足对于任意自然数恒成立，则；再由两边同取极限有，解得或验证，当时，数列应该是以1为首项，以为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数都满足恒成立.所以不满足题意.当时，将，代入，求得，则，验证可得同样不满足对于任意自然数都满足恒成立.所以同样不满足题意.综上所述，和都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的、.在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单
10、.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是 （ ） 分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法：（1）底面为等腰三角形，两腰长度为，底长为（图4-1）；（2）底面为等边三角形，三条边的长都为（图4-2）.2222222
11、2 图 4-1 图 4-2由于是的边，所以.如图4-1，点在平面（垂直于平面，且平面于的角平分线）上运动，且到、的距离为.当时，；当平面与平面重合时，与距离最远即值最大.此时由菱形的性质可解得.由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面与平面不可以重合，即取不到.所以.如图4-2，点在平面（垂直于平面，且平面于的角平分线）上运动，且到的距离为.当在的角平分线上时，最小，可解得；当在的角平分线的反向延长线上时，最大，可解得.由于此图形必须要构成三棱锥，所以不能在的角平分线以及反向延长线上，即取不到，所以.综上所说，所以此题选.这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪
12、费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是 ( ) 分析 如图4-3所示，正三棱锥中，是正三棱锥的高， 图4-3当时，无限靠近于，此时相邻两个侧面的夹角趋近于.当时，正三棱锥无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于.所以的取值范围为，故本题选.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究
13、中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献1谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.2梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.3杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.4孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.5吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.6华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.7张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.第9页，共10页
