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1、文都教育 2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1逆序一设i, j是一对不等的正整数，若i j，则称(i, j)为一对逆序。定义2逆序数一设宵叫是1，2,，n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序 数，记加(亿-，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。a11a12aa21a22aan1an2a1n定义3行列式一称D =称为 n 阶行列式，规定2nnnD =工(1)(jij2j”)a aa。1j1 2 j2njnj1j2 jnaa a11121naa a定义 4 余子式与代数余子式把行列式 D =21222n中元素a所
2、在的i行元 (/an1an2 ann素和j列元素去掉,剩下的n -1行和n -1列元素按照元素原来的排列次序构成的n -1阶行列式，称为元素a的余子式，记为M，称A = (-1)i+jM为元素a的代数余子式。ijijijijij二、几个特殊的高阶行列式a10 0a10 00a 00a 01、对角行列式形如2称为对角行列式，2.=a a a 。 12n00 a00 ann2、上(下)三角行列式一称a110a12a22 a1na2 na11a 及210a2200为上(下)三角行00 aaa.annn1n2nnaa aa0011121n110a aaa0列式，222 n 二aa a ，2122=a
3、a a 。 1122nn 11 22nn00 aaaannn1n2nn3、=1 AI -1 B I,4、范得蒙行列式一形如V （a且 V (a , a ,a )= 12an-11=1 AI 丨 B I,a , ,a12)=an -11a n -12a n -1n称为 n 阶范得蒙行列式，a n -12an-1n=U (a1 j i n-aij）。两两不等。n【注解】V（a ,a，,a ）丰0的充分必要条件是a ,a，,a12 n12三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即D = DT。2、3、对调两行（或列）行列式改变符号。行列式某行（或列）有公
4、因子可以提取到行列式的外面。 推论 1 行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论 2 行列式某两行（或列）相同，行列式为零。a11a12a1na11a12 a1na11a12 a1na + ba + b a + b=aa a+ bb.bi 2i2inini1i2ini1i2in aa.aaa.aaa.an1n2nnn1n2nnn1n2nn的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即O行列式不变，即推论 3 行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零 4、行列式的某行（或列）aa aaaa11121n11121n aa aa + kaa + ka-a + kai1i2i
5、ni1j1i2j2injn aa aaaaj1j2jnj1j2jn * * * * aa aaaan1n2nnn1n2nn5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行或列），其中 k 为任意常数。【例题1】设a,P,Y1,Y2,Y3为4维列向量，且1A曰a，Y1,Y2,Y3I= 41B 曰p21，求1 A+B L321【例题2】用行列式性质15计算1- 2 32 4 8【例题4】计算D =1n1二)行列式降阶的性质11 11F a1 1211F a 1，其中 a 丰 0(1 i n)。3i111 + an1 + a112-51-37-1【例题3】计算行列式D =5-924-6124726、行列式等
6、于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和，即D 二 a AF a A (i = 1,2,，n),i1 i1i 2 i2in inD = a A + a A fF a A (j = 1,2, , n)。1j 1j 2 j 2 jnj nj7、行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)元素的代数余子式之积的和为零321【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算1-23。248【例题2】设D =7-9-12，求( 1 )M + M + M + M21222324(2) M + M3132四、行列式的应用克莱姆法则a x + a x FF a x = 011 112 21n na x + a
7、x FF a x = 0对方程组1 21 122 22n na x + a x FF a x = 0n11n22nn naxFa x+Fa x=b11 112 21n n1axFa xF F a x=b21 122 22n na x Fa x FFa x =bn11 n 22nn n nII )其中(II)称为非齐方程组，(I)称为(II)对应的齐次方程组或(II)的导出方程组。aa aba aaabii121n1121n11121aa aba aaab21222 n,D=2222 n，,D=212221naa aba aaabn1n2nnnn2nnn1n2n，其中D称为系数行列式，我们有定理
8、1 (I)只有零解的充分必要条件是D丰0 ；(I) 有非零解(或者(I)有无穷多个解)的充分必要条件是D=0。定理2 (II)有唯一解的充分必要条件是D丰0，且 x = i (i =1,2,n)；当 D = 0 时, iD(II)要么无解，要么有无穷多个解。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算(一)基本概念raaa11121naaa21222n.aaam1m2mn1、矩阵形如称为m行n列的矩阵，记为A = (a )，行数与列 ij mxn数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 ( 1 )若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O。2)对A = (a )，若m二n，称A为n阶方阵
9、。 ijmxn3)为单位矩阵。对称矩阵一设A = (a )，若aij nxnij=a (i, j = 1,2,，n)，ji称 A 为对称矩阵。、(、raa araa a11121n1121m1aa aaa a21222n，记 At =1222m2.aa a 丿.aa a 丿(5)转置矩阵一设A =，称 AT 为m1m21n2nmnmn矩阵 A 的转置矩阵。2、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩 阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、伴随矩阵一设A = (a )为n矩阵，将矩阵A中的第i行和j列去掉，余下的元素按照 ij nxn原来的元素排列次序构成的n -1阶行列式，称为元素a的余子式，记为M，同时称 ijijA = (-lA+jM为元素a的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子 ijijij式，记A* =(A11A12A21A22A )n1An2称为矩阵A的伴随矩阵。I A1nA2nA丿nnIa土 ba土 b a土 b111112121na土 ba土 b a土 b212122222n,a土 ba土 b a土 bm1m1m2m2mn2no二）矩阵的三则运算Iaa a 1Ibb b 111121n11121saa abb.b21222n， B =21222 s、aa a 丿、bb b 丿则
