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1、谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用研究拉格朗日中值定理的证 明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的.拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适 当的辅助函数实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入 辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个但事实上若从思想 方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法.首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及 其几何意义作一概述.1罗尔(Rolle冲值定理如果函数f (x)满足条件：G)在闭区间la,b上连续
2、；6)在开区间(a,b)内可导；3 f (a)= f (b)，则在(a,b)内至少存在一点:，使得广)=0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y = f (x)在点A,B处的纵坐标相等,那么, 在弧AB上至少有一点C(匚,f (匚)，曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条 件不全具备，就一定不存在属于(a,b)的:,使得广 )= 0 .这就是说定理的条件是充分的，但 非必要的.2拉格朗日 (lagrange )中 值定理 若函数f (x )满足如B1下条件：(1)在闭区间L,b上连续；6)在开区间(a,b)内可导；则
3、在(a,b)内至少存在一点:，使拉格朗日中值定理的几何意义：函数y = f (x)在区间la,b上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C,曲线在C点的切线平行于弦AB .如图2,从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f G)在闭区间L, b两端点的函数值相等，即f(a)= f (b),则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句话说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形正因为如此，我们只须对函数f G)作适当变形,便可借助罗尔中值定 理导出拉格朗日中值定理.3 证明拉格朗日中值定理教材证法证明作辅助函数F (x )= f (x )-xb - a显然，函数F6)满足在闭区间L,b上连续，在
4、开区间(a,b)内可导，而且F(a)= F(b).于是由罗尔中值定理知道,至少存在一点匚（a ： b）,使F匕）=f匕）一f ）- f （）= 0 .即b-a用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数申(x)= f (x)-x .证明略 f U )- f ()(x - a ), ( 了) 由f (x)与直线函AB数之差构成辅助函数申(x)，于是有：申(x)= f (x)- 一f一(x - a).证b-a显然,函数申(x)在闭区间L,b上连续，在开区间(a,b)内可导，申6)=申)= 0,因此，由罗尔中 值定理得,至少存在一点:丄,b)，使得卩匕)=f匕)-f )- f ()=0,即fG)= f )-
5、 f ()b-ab-a推广1如图3过原点O作OT AB，由f (x)与直线OT对应的函数之差构成辅助函数 申6),因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：K = K = f )- f (), OT的直OT ABb - a线方程为：y = f )- f ()x,于是引入的辅助函数为：申(x)= f (x)- f(b)- f (a )b-a推广2如图4过点C, O)作直线AB AB,直线AB的方程为：y =明略推广3如图5过点作(b,0)直线AB AB，直AB线的方程为y = f )- f )(x - b)b - a成辅助函数(x),于是有:-b ).满足罗尔中值定理的辅助函数申G)都可以b
6、 - a从而利用f (x)与直线的AB函数之差构成与 直 线AB函 数 之 差 构事实上,可过y轴上任已知点(O,m)作 A/B/ AB 得直线为 y = f O_f Ox + m， b - a用来证明拉格朗日中值定理.因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函 数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数 f(x)减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数f(x)，即可得与之对称的辅助函数如下：申(x )= f Q+ f(b )- f(a ) (x - a
7、) - f (x) _b 一 a乙)=f 第 - f ()x - f (x )乙)=f )- f()(x - a )- f (x)比)=f 力 - f ()(x - b )- f (x )b - a等等这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个这里仅以为例给出 拉格朗日中值定理的证明.证明显然,函数申G)满足条件：G在闭区间la,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)(a)=申(b)=妙.由罗尔中值定理知,至少存在一点:e (a,b)，使得b a卩匕)=f匕)=o,从而有f()=,显然可用其它辅助函数作类似的b ab a证明.转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若
8、把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度 ,得 新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新的坐标系下f (x)满足罗尔中值定理，由此得 拉格朗日中值定理的证明.证明作转轴变换x二X cosa Y sin a , y = X sin a + Y cos a ,为求出a ,解出X, Y得X = x cos a + y sin a = x cos a + f (x)sin a = X (x )Y = x sin a + y cos a = x sin a + f (x )cos a = Y (x )f(b) f(a)由 Y(a)= Y(b)得 a sin a + f (a )cos a = b sin
9、 a + f (b )cos a,从而 tan a =,取 a 满ba足上式即可.由f G)在闭区间L,b上连续，在开区间(a,b)内可导，知Y(x)在闭区间L,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且Y(a)= Y(b),因此，由罗尔中值定理知,至少存在一点:e(a,b), 使得 Y 匕)=sin a + f匕)cos a = 0,即 f f )= tan a = fba用迭加法引入辅助函数法让f (x)迭加一个含待顶系数的一次函数y = kx + m ,例如令申G)= f (x) (kx + m)或申G)=-f (x)+ kx + m,通过使(a)=(b),确定出k,m,即可得到所需的辅助函
10、数.例如由申G)= f (x) (kx + m),令(a)=(b)得f (a) (ka + m)= f (b) (kb + m),从而k = f,而m可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数申6)= f )- f ()x m,由m的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这 ba些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.用行列式引入辅助函数法证明构造一个含f G)且满足罗尔中值定理的函数申6),关键是满足申(a)=(b).我们从xf (x ) 1行列式的性质想到行列式af (a) 1的值在x = a,x = b时恰恰均为0,因此可设易证bf (b ) 1xf (x ) 1申(x)= af (a) 1
11、,展开得bf (b ) 1申(x)= f (b)x + bf (a)+ af (x)-af (b)- f (a)x 一 bf (x).因为f (x)在闭区间la,b上连续，在开区间(a,b)内可导，所以(x)在闭区间la,b上连续，在开 区间(a,b)内可导，且p(a) = Q(b)= 0,所以由罗尔中值定理知,至少存在一点:e (a,b),使得卩匕)=0.因为卩匕)=f (a)- f (b)一 (a 一b)f匕)=0数形相结合法引理在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为f (b)，A(a, f (a), B (b, f (b), CC,f (c),则 AABC 面积为 S=-A
12、ABC 2这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种 新的证明.这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的 条件如图，设(c,f (c)是直线AB与y = f (x)从A点开始的第一个交点，则构造(x )=4f (a ) 2 f (x)1 a但是1 c1匚易验证申(x)满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a,c上连续，在开区间(a,c)内可导，而且申0=申),则至少存在一点:e (a,b),使P/ (匚)=0,即:f (a )f (c)丰0 ,这是因为，如果f (c)1 a f (a)1 c1 : f C)则f(L f(c)二f(c
13、L f(a),这样使得(匚,f C )成为直线AB与y = f (x)从A点的第一个C _ cc a交点，与已知矛盾.1 a1 c1匚fQf (a )f (c) = 0,即 f(c)= f )_ f ()= f )_ f ()若只从满足罗尔中值定理的要求出 b _ ac _ a发，我们可以摈弃许多限制条件,完全可以构造申(x)二更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造申(x)二f (a )f (b)来解决问题，从而使形式f (x )g (a ) f (a )g (b) f (b)来证明柯西中值定g (x ) f (x )理.区间套定理证法证明将区间I = a,b二等分，设分点为C，作直线x
14、=匚，它与曲线y = f (x)相交于M ,1 1 1过M作直线M L 弦MM .此时，有如下两种可能：111a b若直线ML与曲线y = f (x)仅有一个交点M，则曲线必在直线ML的一侧否则,1 1 1直线ML不平行于直线M M 由于曲线y = f (x)在点M处11a b1有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线ML就是曲线1 1y = f (x)在点M处的切线，从而f ( )= f )_ f (.由作法11b _ a知, C在区间(a,b)内部，取C =C1 1 于是有f (c)=也二虫 b _ a若直线ML与曲线y = f (x)还有除M外的其他交点，1 1 1设N (x,y )为另外一个交点，这时选取以x ,g为端点的区间，1 1 1 1 1记作I =a ,b ,有y jL(kj110atb叫1 11 1 1l n Ib -a 匕,f S f W)= f抵Lf )，把I作为新的“选用区间”，将I二等分，1，112b 一 ab 一 a1111并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点匚，要么又得到一个新“选用区间” I 如2此下去,有且只有如下两种情形中的一种发生:a在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点匚，作直线x =匚它与曲线 kky = f (x)交于M，过点M作直
