《苏州大学空间解析几何复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏州大学空间解析几何复习（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间解析几何部分 一、向量的加、减、数乘向量、向量的数量积、向量积、混合积例:计算下列各题(1) 已知等边 * 的边长为1,且BC = a , CA = b, AB = C,求 ab + be + ca ； 解:一 .一珂=b|三户1,一 ab + be + ca = a|-叫cosl200 + b - c -cosl20。一 一 _-3+ c - a - cosl20 0 = 一 _2（2）已知a,b,c两两垂直 且|a| = l, b = 2，c = 3,求 r = a + b + c的长和它与a,b,c的夹角-解：-（2广/ a 1 b 1 c,且 a = 1 叫=2,时=3 .设 r
2、=a +b + c = i + 2 j +3kr =J12 + 22 + 32 = yf14设与a,b,c的夹角分别为以,P,Y. _ 1 _声 _ 2 _jT4=74=k cospf=,cos Y3 =3jT414=arccos 客, e .144， p = arccos 3 ， y = arccos _. 已知a + 3b与7a - 5b垂直，且(a - 4.)与(7a-2b)垂直厂求a,b的夹角 一 一解:(a + 3b) - (7 a 5b) = 0 ,即 7a2 + 16ab 15a2 = 0( 1 )(a 4b) - (7 a 2b) = 0，一- 即 7 a r 30ab + 8
3、b2 = 0(2)(1)3)得:一 2ab :b2 一(1 )8 +(2 )得：2a b = a2a = b.cos Z(a, b) * =型=1_ _ 一一件b件2 兀f. . cos Z( a, b)=3巳知一a = 2, b =5,2Z(a, b) = , p = 3a 一 b, q = x a + 17b.问系数x取何值时p与q垂直?解：Lb =一 _ , 1、一 仃 b cos Z(a, b) = 2 x 5 x (-)= 5p q = (3a b)(x a + 17b) = 3X a2 + 51ab Xa -b 17 b2巳知:= 680+ 17人=0a = 2,-3,1 = (1
4、-2,3),求与。都垂直,且满足下列条件的矢量。：、为单位矢量cd = 10,其中= 2,1,7 解：用向量积。 - 别这些矢量是否共面?如果不共面，求出以它 们为三邻边作成的平行六面体体积.巳知直角坐标系内矢量a.b.c的分量，判(1) a = (3,4,5b = 1,2,2) c = (9,14,16)- cT= 3,0,-1,方=2,-4,3厂 c = 1,2,2.-y 4 5共面(Q,仞 c)=l 22 =09 14 16二向量gc共面 30-1(2)不共而 (Q,b,c)= 2 4 3 =2-1 -2 2 向量不共面以其为邻边作成的平行六面体体积V = 2例:已知直角坐标系内A,B,
5、 C, D四点坐标, A（2,3,1） B（4,1,2） C（6,3,7）D Q 5,4,8）判别它们 是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四 面体体积和从顶点d所引出的高的长.解:24-7-2 -306 = 2 x 58=11617又 ABx AC = -12,-24,8. ABx AC = 28, .h = 116 =翌顶点D所引出的四面体高为29.287.T二、直线方程，平面方程的求法，点到平面的距离，直线与平面的关系，平面 与平面的关系，直线与直线的关系。异面直线的公垂线方程，异面直线间距离例：已知两点M1（3,-1,2）M2（4,-2,-1）,求通过m且 垂直于M1,M2的平面21
6、例：已知三角形顶点A（0, -7,0 ）, B（2, -1,1）, C（2,2,2 ）.求平行于 abc 所 在的平面且与她相距为2各单位的平面方 程。解：设 AB = a, AC = b.点 A(0, 7,0).则a = 2,6,1kb= 公头隽写出平面的点位式方程设一般方程为一-x y + 7 z261292Ax + By + Cz + D = 0. A = 3.B = 2, C = 6, D = 14 0.由相距为2个单位，.所求平面为3 x 2 y + 6 z 28 = 0.和 3x 2 y + 6 z = 0.例：求中心在C (3,5,2)且与平面2 x - y - 3 z +11
7、= 0相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面“：2 x 3 + 5 + 6 +1128=2必，2x y 3z +11 = 0的距离，它为：气14所以，要求的球面的方程为：(x 3)2 + (y + 5)2 + (Z + 2)2 = 56即：x 2 + y 2 + z 2 - 6 x +10 y + 4 z -18 = 0.例：求通过点M (1,0,-2)且与两直线x1 = y=立 和三=匕1=H1垂直的直线。11 11 10解：欲求直线的方向矢量为：S,1,-1x h-1,0= 1,-1,2)，所以，直线方程为：x 一 1 y z + 2 = t = 。例：关于直线:一一4z +12 = 0
8、与点P(2,0,-1)对2 x + y - 2 z + 3 = 0称的点解：已知直线的方向矢量为：k-nk M-2= k-6,3，或为 h-2,i,.过p垂直与已知直线的平面为:2(x 2) 2y + (z +1) = 0，即 2 x 一 2 y + z 一 3 = 0，该平面与已知直线的交点为(1,1,3)，所以若 令PP(x,y,z)为P的对称点，则：2 + X _0+ y Q 1 + z1 = F i = F，3 =十x = 0, y = 2, z = 7，即 P(0,2,7)。例：判别下列直线与平面的相关位置:（1） x 一 3 = y + 4 = z 与 4 x 2 y 2 z =
9、3./；（2）x = 2 = 与3x 2y + 7z = 8；(3)户-3y + 2z-5 = 0与 4%- 3y + 7z - 7 = 0 ； 2 % - y - z -1 = 0C% = t(4) + a z -15 = 0(2) x-1 = 1 = z-1 与x +1 = y-1 = z。12 az解：(1)若所给直线与 轴相交，则有，z0满足，2 丁 r0。，|人 z -15 = 0 0从而a = 5。（这时Z0 = 3 ）（2）若所给二直线相交，则由共面1 +1-1 -11211=0a11从而：a=；，且可验证两直线方向不平行， 确实相交。例：判别下列各对直线的相互位置，如果是 相交
10、的或平行的直线求出它们所在的平面； 如果是异面直线，求出它们之间的距离。(1) f x 2 y + 2 z = 0 与 I x + 2 y z 11 = 0 |3x + 2 y - 6 = 03 )2 x + z -14 = 0；(2)y - 8 z - 3 匕 x + 3 y + 7 z - 6= 与 = wx = t(3)卜=2t+1 与二=r-!=壬。z = -t - 2 47-T解：(1)将所给的直线方程化为标准式，为:33勺cx- y-x 7 y 2 z2 _4_ z一 =-,=-Y- 4，2- 34(-2)： 3： 4=2： (-3)： (-4)且点(7, 2, 0)不在第一条直线
11、上,二直线平行。又点(3,3,0)与点(7，2，0)在二直线上， 2 4.矢量p-2,2 - 4,=, 4,平行于二直线所 确定的平面，该平面的法矢量为：- 2,3,4x；,4,0； = L 5,22,-19，从而平面方程为：5(x - 7) - 22(y - 2) +19(z - 0) = 0，即 5 x - 22 y +19 z + 9 = 0。(2)因为A= 33 + 3 8 + 7 3 - 6-3 -14二直线是异面的。二直线的距离：6 15 - 3113 -1 1= 270 = 3印。d =厂3、2, 4. =270h,-1jx 七 3,2,4,J62 +152 + 321 3 0(
12、3)因为= 1 2 -1 = 0 , 4 7 - 5但是：1: 2： (-1)尹4： 7: (-5)所以，两直线相交，二直线所决定的平面的 法矢量为 S,2 - 1x 4,7,-5= - 3,1,-1，.平面的方程为：3尤- y + z + 3。例：给定两异面直线：x - 3 =y =z -1与x+1 =y - 2 =z 试求它们的1 0与1，试不匕们的公垂线方程。解：因为2,1,0x S,0,1=务,-2,-1，.公垂线方程为：x 3yz -1210 = 0 1-2-1x +1y - 2z101 = 011-2-1即 X 2 * 5 Z 8 = 01 2x + 2-2z - 2 = 0，亦即 Jx 2+5 5 - 8=0。X +z 1 = 0例：求通过点pj,0,-1)且与两直线+ 5 T,与! x-5 =3都相交的直线方程.2 x -z = 22 x + 4-z = 4解 设所求直线的方向矢量为r = (x,z, 则所求直线可写为学=Y =琴1./直线l1
