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1、函数的周期性和对称性温州二十一中学 张心心随着课程改革的推进，新教材在突出数学知识实际应用能力和知识面的扩大，因此适当地扩充现有知识体系，对于学生能力的培养仍起着一定的推动作用.函数的知识体系，一直是数学基础教育的重点和难点，因为它蕴涵着数学的数形结合思想，化归思想，换元思想等.因此我认为新旧教材适当结合，仍有利于学生充分掌握函数的知识体系.在必修1中，函数的奇偶性重现教材，就是一个很好的例证.必修4中，从三角函数引出函数的周期性，是能让学生充分理解有关知识的优势，仍是教材中必备的亮点.事实上，适当地结合函数的周期性和函数的奇偶性或对称性，更能让学生把握函数中数形结合的魅力.它不仅在高考中起着
2、一定的解题作用，在竞赛中也是常用的手法.先让我们了解下函数图象的对称性以及周期性的相关定理和推论.一、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、函数周期性的性质：定理3：若函数在R上满足，且
3、（其中），则函数以为周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.例1已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.20分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我
4、们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图），且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1：（07天津7）在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B练2.（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，
5、是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，则可能为5，选D.例2已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.在竞赛题中，我们也常遇到关于函数周期性和对称性的题.例3，则，中最多有（ ）个不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 练3：已知，则（ ）.A. B. C. D.3 分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.选A.练4：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .解：，令，则，即有，令，则，其中，. 或有，得.
