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1、【参数方程和普通方程的互化】例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点解：把代入得：两式平方相加可得（舍去）于是即所求二曲线的交点是（，）说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性如该例若化为普通方程求解时要注意点（，）是增解例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）解法一：因，故设。取为参数，则得所求参数方程解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图
2、）则有即为所求的参数方程。说明：在解法二中，不必限定，即不必限定，由此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便如果取为参数，则得直线参数方程一般地，直线的参数方程的一般形式是（，为参数）但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义例3求椭圆的参数方程分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设解法一：设（为参数），则故因此，所得参数方程是（）或（）由于曲线（）上的点（，），就是曲线（）上的点（，），所以曲线（）上的点都是曲线（）上的点显然椭圆
3、的参数方程是分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知也是半径OB的转角） 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，O
4、P与x轴正半轴所成角为，则：又中，此圆的参数方程为例5设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。解：把代入原方程，得，解得参数方程为（为参数）与表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。所求参数方程例6化双曲线为参数方程。解：设，代入为，得的参数方程为（为参数，）这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？请你找出来。错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变
5、量x、y的允许值范围要保持一致。下面给出正确解法：设，代入得。的参数方程为：（为参数，）例7化参数方程（为参数）为普通方程。分析一：用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。解法一：即将它代入（1），并化简得（）分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。解法二：得又于是得所求普通方程为即分析三：因为，所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。解法三：，可令（，）又于是得得即，（）（）即，普通方程是（）说明：解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数
6、方程化为普通方程时保持等价性。例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。（1）（2）（3）解：（1）（）为所求。（2）由，得（）将它代入，并化简得（）另解：并整理得（）（3）且所求普通方程为说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。例9对于方程（a，b为常数）（1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线；（2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线解：（1）当t为常数，原方程可变形为两式平方相加得即这是以（a，b）为圆心，为半径的圆。（2）当为常数时，由第一式得代入第二式得即这是过点（
7、a，b），斜率为的一条直线小结：同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。例10已知直线过点P（2，0），斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点，线段AB的中点为M。求：（1）线段PM的长；（2）M点的坐标；（3）线段AB的长解：如图。（1）由直线过点P（2，0），斜率为。设其倾斜角为，则有可得直线的标准参数方程为：（其中为参数）设直线上两点A、B分别对应参数、，由方程组：消去可得：有，由M为AB的中点，（2）设M点对应参数为，则有 M点坐标为：M点坐标为（，）（3）由分别代入，可得点拨：利用直线的标准参数方程中参数的几何含义，在解决诸如直线
8、上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。例11已知椭圆上的一个点P（），求的最值。解：设椭圆的参数方程为：（为参数，），（其中）即的最大值是，最小值是。点拨：这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲线，同时也表示了曲线上的点的坐标当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了、，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以起到一元化即消元的作用例12过点M（2，1）作曲线（为参数）的弦AB，若M为AB的三等分点，求AB直线方程。解：设AB的方程为（t为参数），将x，y代入曲线（为参数）即，整理、化简得，点M
9、在AB的内部。将、代入上式有。解得，则AB的方程为小结：本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。例13圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。证明：以圆心O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，设圆的方程，过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即分别代入圆方程，得，其二根为、，其二根为、，故有两弦平方和为定值小结：涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。例14已知是抛物线的一动弦，O为原点。当恒为直角时，如图求弦的中点P的轨迹方程。分析点P是的中点，点P的坐标与，的坐标，
10、、相关，如果选取，、作为参数，则要列出，、有关的五个方程，最后消去参数，、就可以得到P点的轨迹方程。解设P（），（，），（，）P是的中点，在抛物上又恒为直角，即由：由：把、式代入得： P点的轨迹方程是说明此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨迹方程解决这类问题的关键是如何选取参数此题还有一种选取参数的方法设直线的斜率为，根据则的方程是，的方程是。由解得由解得设，根据P是的中点（1）（2）由把（1）代入：P点的轨迹方程是：内容总结（1）的参数方程为：（为参数，）例7化参数方程（为参数）为普通方程（2）解法一：即将它代入（1），并化简得（）分析二：用整体消参法
