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1、10.8n次独立重复试验与二项分布知识梳理1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(
2、A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)诊断自测1概念思辨(1)相互独立事件就是互
3、斥事件()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b(1p)()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A23P55T2(1)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是
4、()A. B. C. D.答案C解析记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)，P(AB)，所以P(B|A).故选C.(2)(选修A23P58T2)将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k1次正面的概率，则k_.答案2解析依题意有Ck5kCk15(k1)，所以CC，所以k2.3小题热身(1)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B. C. D.答案B解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等
5、品，且A，B相互独立，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).故选B.(2)(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312答案A解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)30.620.4，投中3次的概率为P(k3)0.63，所求事件的概率PP(k2)P(k3)0.648.故选A.题型1条件概率从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的
6、2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.答案B解析解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).故选B.解法二：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).故选B.条件探究1若将本典例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解P(A)，P(B).又BA，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).条件探究2本典例条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，
7、事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值解从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法则P(A)，P(AB)，P(B|A).方法技巧条件概率的两种求解方法1利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是求条件概率的通法2借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).冲关针对训练(2017唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率
8、为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()A0.6 B0.7 C0.8 D0.9答案C解析设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)0.5，P(AB)0.4，则P(B|A)0.8.故选C.题型2相互独立事件的概率(2014陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3
9、季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本，X所有可能的取值为5001010004000,500610002000，3001010002000,30061000800.P(X4000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)
10、设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896.方法技巧利用相互独立事件求概率的思路1求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互
11、独立事件的积，然后利用相关公式进行计算2求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算冲关针对训练(2018哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E
12、)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的分布列为X0100120220P题型3独立重复试验与二项分布(2017太原一模)近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动预报得知，这一地区在未来
13、一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的(1)求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；(2)求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列；(3)用表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数f(x)x2x1在(3,5)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率解(1)未来一周5天都组织集体活动的概率是P32，则至少有一天停止组织集体活动的概率是1P.(2)X的取值是0,1,2,3,4,5，则P(X0)，P(X1)3CC32，P(X2)C32C3C32，P(X3)C32C3C32，P(X4)C323C，P(X5)32，所以不需要停止组织集体活动的天数X分布列是X012345P(3)函数f(x)x2x1在(3,5)上有且只有一个零点，且05，则f(3)f(5)0，故3或4，故所求概率为P(A)C32C3C323CC32.方法技巧1独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程2判断某概率模型是否服从二项分布Pn(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)
