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1、、重要公式第一章行列式n-11 .|AABb|Bn1)mnAm BOO匕*8.O* =OAm7n aii111 X1X1X2X3Xn2222二n区-人）XiX2X3Xn9.范德蒙行列式：- 1 勺 jnnJn_inJnJXiX2X3Xn、主要知识网络图排列一逆序一奇、偶排列I概念a11a12a1nD =a21a22a2nan1an2ann二坷陆-坷妣2 + （-1）%1処尸1性质 行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。互换两行（列），行列式值变号。某行（列）有公因数，可提到行列式之外。某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。若行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则
2、行列式可拆成两行列式之和。 若行列式有两行（列）对应成比例，则值为零。行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。a 三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法Grame法则奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章 矩阵、重要定理定理2.1设A, B是n的阶矩阵，贝U AB二A B。定理22 如果A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵唯一。定理 2.3 n 阶矩阵 A 可逆二 AO=r(A)= n二 A=RP2-Ps,P是初等矩阵(i =1厂，s)定理2.4初等阵左(右)乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的行(列)变换。Ej- = Ej, E 丄(i (k) =E(i (丄),Ej 丄(
3、k) =Ej ()定理2.5初等矩阵可逆，且其逆同类型初等矩阵，即 k JJ 。定理2.6如果矩阵A与B等价，则(1 )秩r(A)=r(B) (2 )存在可逆矩阵P与Q,使PAQ=B。定理2.7若r(A)=r,则A中有r个线性无关的行(列)向量而其它的行(列)向量都可由这r个向量线性表出。 即r(A)=行秩=列秩。、重要公式、法则1. 加法与数乘(1) A+B=B+A(5) k (l A)=(kl)A2. 乘法(1) (AB)C=A(BC)(2 ) (A+B)+C=A+(B+C)(6 ) (k+l)A=kA+lA(2) A(B+C)=AB+AC (3 )(3 ) A+O=O+A=A(7 ) k
4、(A+B)=kA+kB(4 ) A+(-A)=A(8 ) 1A=A, OA=O(kA)( lB)= kl(AB) (4)AO=OA=O3.转置(1) (AT)T=A(2)(A+B) T=AT+BT(3)(kA)T=kAT4.可逆(1)A=A (2)(At) =(A)t (3) kA -AJ k5.伴随(AB) T=BTAT(4) (AB)=B_1A_1(1) AA 二 AA 二 AE (2) (kA)* 二 k A* (3) (AT) = (A )T6. n阶矩阵的行列式(1) AT = A(2) kA = knA (3) AB|=|ABA*7.矩阵秩的性质(1) r(A)二r(AT) = r
5、(PA) = r(AQ) = r(PAQ) (P、Q 可逆) r(A B)乞 r(A) r(B) r(kA) =(A)OrA OO B-r(A) r(B)o!-r(A) r(B)(5) r(A) r(B)- n r(AB)乞 minr(A),r(B) (n表示 A 的列数 B 的行数) r(A) = r(B) = n = r(AB) = n (7) AB=O = r(A) r(B)二 n (n 表示 A 的列数 B 的行数)(8) A 为实矩阵二 r(A)二 r(ATA)二 r(AAT)?n r( A) = n(9) r(A*)=O r(A)c n 11 r(A) =n1三、二阶方阵：a(1)
6、 A =广d-cb1a j ad - beA0.1bB 一=10 BAcl1A-A-lcbj1bBB五、可逆白勺判断法四、分块阵二AX = 0仅有零解* d b（2） A=| d b记法：“主换位，副变号”C a 丿0A= |o 汁B 0_0；AA0【匕B1. n阶矩阵 A可逆=A =0= r（A） = nu A的行（列）向量线性无关R是初等矩阵（i =1, , s）2. 上三角阵的逆阵为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵（AAt二AtA = I）1 . A 正交，A = 1。*4. A正交，A也正交。七、对角阵2. A正交，AT也正交。T J5. A
7、正父，A A 。3. A正交，A_1也正交。6. A正交，AB也正交。5*.实的反对称阵的i只能为0或bi形式。口诀:1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。2、 若涉及到 A、B是否可交换，即 AB = BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、 若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解岀因子aA+bE再说。第三章向量空间1、A工0= A的行（列）向量无关， A = On A的行（列）向量相关 口诀1、若要证明一组向量 a 1,a 2,S线性无关，先考虑用定义再说。2、若已知 AB = 0,则将B
8、的每列作为 Ax=0的解来处理再说。第四章特征值与特征向量、重要公式1、A = 口扎id：nn2、trA - a an - ii占i 43、热=0= A可逆4、可逆阵A的每行之和为a = 0，贝u A J的一个特征值为a J，且对应的特征向量为kE-A的可逆性丿可逆 不可逆_116、A可逆且有n个无关的特征向量=A, A ,A A有相同的n个无关的特征向量。7、A B = r(A)二 r( B); tr(A)二 tr (B)8、矩阵AAk AAm*Af ( a )PAP(P AP)tatB （A 的初等 变换）特征 值丸Ak九m 扎lA Tf （几）Z扎不定特征 向量aaCCCaPTa不一宀曰
9、 疋是a不定、相似与对角化（A为n阶方阵）三、可对角化的判断方法1、A为实对称矩阵2、j （i = j）3、R（，j| A）二n -k,ki为，重数）四、合同（B=PtAP,P可逆，记作：B二A）1、合同不一定有相同的 i。2、A合同于B,则R（ A）=R（ B）且A, B同号，A、B有相同的正惯性指数。3、A合同于E,则A正定。A,B为实五、A、B有相同的特征值 =R（A）二R（B）二A等价B= A、B对应正负惯性指数相同二A = B对称阵变换关系变换阵性质等价paq=bp、q可逆秩不变相似PAP =Bp可逆秩不变丸i不变A = B , tr (A) =tr ( B)止交相似CAC = BC
10、正交秩不变扎i不变A = B , tr (A) =tr ( B)合同PTAP = Bp可逆秩不变对称性不变口诀:1、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。2、若已知 A的特征向量E 0，则先用定义 A E 0 =入o E 0处理一下再说。第五章 二次型-、正负定判断：1、 正定二 正惯性指数=n= A的所有特征值i0二n个主子行列式的值都为正数 =A合同于E。2、 负定二 负惯性指数=n= A的所有特征值 ：0二n个主子行列式的值负正相间二、化二次型为标准型1、配方法2、合同变换法T匸丿3、特征值法戶诀：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。AA
11、*=A*A=|A|E第一句话：题设条件与代数余子式 Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即 AB= BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=O，要证aA+bE可逆，则先分解岀因子 aA+bE再说。 第四句话：若要证明一组向量 a 1, a 2,S线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB= 0,则将B的每列作为 Ax=0的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量E 0，则先用定义 A E 0 =入0 E 0处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。Return1. A为方阵，A - A为反对称阵（A = - A ）。2.A为反对称阵：则 A*为反对称阵（n为偶数）则A*为对称阵（n为奇数）则A为反对称阵（A = 0）则AB反对称二B对称且AB=BA3.A*为反对称阵，则A1 2 3 4也是反对称阵。4. A为对称阵，则 A*也是对称阵。
