第八章多元函数微分法及其应用

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1、第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1填空。（1）设，则=_； (2) 设则 =_； (3) 设若当时，则函数=_； (4) 函数的定义域是_； (5) 函数的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_。2求极限。 （1） （2）4讨论函数的连续性。第二节 偏导数1填空。（1）则，；（2）则，； (3) 设，则=_, =_, =_,=_ _；（4）设 ，（为连续函数），则=_ _, =_ _。2证明函数在处连续，但偏导数不存在。3验证满足。4求下列函数的二阶偏导数（1） （2）第三节 全微分及其应用1填空。（1）设，则（2）设，则（3）设，则2求函数当时的全增量和全微分。3求函

2、数的全微分4设证明在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。第四节 多元复合函数的求导法则1请把及填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。（1）设，而，则复合关系图为 ，从而_.（2） ，令， 则复合关系图为 ，且 = .2设,而，求，3设u=, 而，求.4设，而 ,为可导的函数，证明： 5设，其为可导的函数，验证.6设，其中是有一阶连续偏导数，求，第五节 隐函数的求导法则1设，求及2设， 用隐函数求导的公式求； 用复合函数求偏导数的方法求； 利用全微分形式不变性求出及。3 具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足4已知，求，是把变量 视为自变量，变量 与 视为变量 的函数。求出5已知，求

3、， 与 看作自变量，而把变量 与 都看作 与 的函数，求出，6设，求第六节 微分法在几何上的应用1 螺旋线，在点处的切线和法平面方程。并证明其上任一点的切向量与轴成一定角。2 求曲线，在点处的切线和法平面方程。3 求曲面在点处的切平面和法线方程。4 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出该法线方程。5 证明锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点。6 试证曲面上的任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。 第八节 多元函数的极值及其求法1 求函数的极值。2 求函数的极值。3 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。4 在球面位于第一卦限的部分求一点P，使该点处的切平面在三个坐标轴上

4、截距的平方和最小。第八章 多元函数微分法及其应用总习题1 设，求，其中具有一阶连续偏导数。2 设，验证。3 设，又，求常数，使。4设，求及。5 设，问：（1）在点是否连续，为什么？（2）在点的偏导数，是否存在？（3）在点是否可微？为什么？6 设，其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求。7 设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明： 8 设，其中具有一阶连续的偏导数，利用全微分形式不变性求隐函数的全微分，并由此求出。10求曲线上点处的法平面与直线间的夹角。9 过直线，作曲面的切平面，求此切平面方程。10 经过点但不过原点的所有平面中，哪一个平面与坐标面所围成的立体的体积最小。

5、第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质1 选择题. 设，若由轴，轴与直线围成，则在上 A B 由二重积分的性质可知 .A B C 2 填空题设若，区域为，则在上，的最小值为 最大值为 此时, .第二节 二重积分的计算法1 填空：改变积分次序(1) (2) 若则= .(3) 设： ，则应把二重积分化为先对_后对_的二次积分= . (4) 二重积分 2 画出积分区域，并计算下列二重积分。(1) ，其中D是顶点分别为，和的三角形闭区域.(2) 其中D是由直线，及所围成的闭区域.(3) ，其中D是由所确定的闭区域。3 化二重积分为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D由直线，及双曲线围成

6、。4 求由曲线，所围成的平面图形位于第一象限部分的面积。 5 证明： 6 求下列空间域的体积。（1）标平面及平面，围成的立体；（2）曲面，围成的立体；7画出积分区域，并且把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1），（2）由曲线，及围成的闭区域；8利用极坐标计算：（1），其中是圆环形闭区域：；（2）其中D是由直线,及曲线所围成的闭区域；（3）其中D是由圆周所围成的闭区域；9求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积。 第三节 二重积分的应用1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。2.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积。第四

7、节 三重积分的概念及其计算法1化为三次积分，其中积分区域分别是：(1) 由双曲抛物面及平面，所围成的闭区域；(2) 由曲面所围成的闭区域。2 计算，其中是由平面，所围成的空间域。3 计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域。4 计算，其中由平面，以及抛物柱面所围成的闭区域。第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分1设由球面与锥面围成，则三重积分在三种坐标系下分别化为三次积分如下：直角坐标系： 柱面坐标系：球面坐标系：。2利用柱面坐标计算下列三重积分。（1），其中为锥面及平面所围成的闭区域；（2），其中由曲面及所围成的闭区域； (3) ，其中由曲面，所围成的闭区域。 3利用球坐标计算三重积分。

8、（1），其中是由球面所围成的闭区域；（2） 其中由不等式， 所确定。4选用适当的坐标系计算下列三重积分。（1），其中是由曲面，所围成闭区域；（2），其中是由不等式：，所确定；（3）其中是 ，的公共部分。5 利用三重积分计算：曲面所围成立体的体积。第九章 重积分复习题1 计算，：，。2计算，其中D由，围成。3 计算，其中：，。4 计算，其中D是闭区域。5 计算其中是由，围成闭区域。 6用“先二后一”法计算，其中由椭球面，所围成（部分）的闭区域。第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1计算,其中为右半单位圆周：，。2 计算其中是以，为顶点的三角形。3 求空间曲线，的弧长。 第二节 对坐标的曲线积分1计算，其中L为圆周（按逆时针方向绕行）。2计算,其中L是抛物线上从点到点的一段弧。3计算，其中L为摆线，上对应从到的一段弧。4 计算，其中为曲线上由点到点的部分。5计算其中L是从点到点的直线段。6 计算，其中为有向闭折线，这里的，依次为点， 及 。第三节 格林公式及其应用1设平面上闭曲线L所围成的闭区域为D，将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.(1) (a) (2) (b) （3）