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1、笛一音.二1J应力理论和应变理论23.试求图示单元体斜截面上的口 30和T 30 （应力单位为MPa）并说明使用材料力学求 斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知b x = -10。= -4 T x = -2（以上应力符号均知材力的规堇）代入材力有关公式得：b =气 *。） + 一匕cos2a-T sin2a30。22xy-10 - 4 -10 + 41=- + - cos60 + 2sin 60 =-7 - 3 x + 2 x22。2=6.768 口 -6.77 (MPa)t = y - sin 2a +t cos 2a
2、 = + 4. sin 60 2cos 6030。2xy2。y题1-3图=-3x 技2x1 = -3.598 口 -3.6022(MPa)代入弹性力学的有关公式得：己知b广-10 b广-4 T xy = +2s = y + ( 尹)cos 2a +t sin 2a30。22= -10- 4 + -10+4cos60 +2sin 60 =-7-3?! 2?豆22。22= -6.768 口 -6.77 (MPa) s - st = 2y=3?笠 2?122-?sin 2a t cos 2a = - -2+4?sin 60 2cos 603.598 口 3.60 (MPa)由以上计算知，材力与弹力在
3、计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得 结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。26.悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为Y弹性模量为E，横 截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变与杆的总伸长量 1。z解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下 半段杆的平衡得：c截面的内力：N=yAz ；c截面上的应力：b =马=，？，=丫侦；z A A所以离下端为z处的任意一点c的线应变g z为：则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为:l = f z -d (A/ )=L 8 - d = f d -f z zd =
4、- zz z E z E y 2 E显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）:Dl =f id (Al)* F =写；(W=g2 E2 EA2 EAI o题16图29.己知物体内一点的应力张量为：。.= y500300-800+3000-300-800-3001100应力单位为kg / cm2 o试确定外法线为n-=,=，耳（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力P、正应力。n及剪应力，on解：首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量：n1 =nx=ny=nzP = (b +T +T x)n = 5+3+&8)x xy xzx 102 x-L = 0 b 2、 a 3
5、并求出b 2的主方向。 切 解：由211题计算结果知该题的三个主应力分别为：b = da2 + b2 ； b 2 0 ； b = - Jq2 + b2 ；设a 2与三个坐标轴x、z的方向余弦为：妇、l22、l23，于是将方向余弦和a 2值代入下式 即可求出a 2的主方向来。2l (b -b )+1 T +1 T = l T = 0(1)21 x 222 y23 xz 23 xz1 T +1 Vb -b )+1 T = 1 T = 0(2)2122 y 223 y 23 z1 T +1 T +1 (b -b )= 1 T +1 T = 0(3)I 21 zx 22 zy 23 z 221 yx
6、22 zy以及：12 + 12 + 12 1(4)2122231 a 1 b 由（1） （2）得：l23=0由（3）得：产=一 ;产=一、;2221将以上结果代入式分别得：411221 +_ ba2 +b2121 = -1122ba2 +b2同理1 21aa2 +b2于是主应力a 2的一组方向余弦为：（土 ，工 ，0）；-a 2 + b 2+寸a 2 + b 2a 3的一组方向余弦为（土离+ V2a2a 2 + b 2+克）士如；220 .证明下列等式:1 ,（1）：2十 31 ；（3）：12=-2。七气）；证明（1）：等式的右端为：/ + 112 =（。2 +七。3 +。3七)+ - G +
7、b +b3123=1 G 2 +b 2 +b 2 + 2bb + 2bb31231 22 3+ 2。b J-G b +b a +b a )3 11 22 33 1=(b2 +b2 +b2)+ (bb +bb +bb) 6(bb +b a +b a )61236122 33 16122 33 12 |b2 +b 2 +b 2 bb bb bbl6 1231 22 3316b2 2b b +b2 +b2 2b b +b2 +b2 2b b +b2 =1 (b b )2 +(b b )2 +(b b )2 = J6 L 1223312故左端=右端证明(3)： 12 = (bb炊b/b右端=2(b b
8、b巴)=1 b 2 +b 2 +b 2 + 2 (T 2 +T 2 +T 22 L x y z1r+b +b )(y +b +b )X J z x J z xy jz zx= |b 2+b 2+b 2+ 2 (C 2+T 2+T 2 )b 2b 2b 2 2 (bX y zxy yz zx x yb +b b +b b T2 T2 T2 )= Ix y y z z xxyyz zx 22L=(bb, +b bz+ bzbxi u = a + a x + a y + a z|0123228:设一物体的各点发生如下的位移。i u =b + bx + b y + b z10123I w = c +
9、c x + c y + c z0123式中a0、a1% c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：，u_疝一 1伽 1 y3 = b2dw =czdz3dudv,7 xy=dy +dx1+ a2dv dw77 f + 否 *2 + b3 ；dudw7 =+ =a + c ；zxdydx31229：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。（1）：(3x 2 + 20 )x10-2 v = (4 yx )x10-2在（0，2）点处;(2)：u =(6 X 2 + 15 )x10-2 3z2 - 2xy )x 10-2 v =(8 zy )x10-2在（1,
10、 3, 4）点处du解(1)：= = 6 x 10-2dxxdv=dyy=4X 10-2Yxydu dv=+dy dx=0 + 4 y 10 -2在（0, 2）点处，该点的应变分量为：广8y= 0 ；Y = 8 X10-2 ；xy写成张量形式则为:X 10-2 ；解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1， 3, 4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。 =一 = 12x10-2 = 12 X10-2 ； =一 = 8z10-2 = 32 x 10-2x dxy dydwdu dv 八 =6 z10-2 = 24 x10-2 ；Y =1= 0zdzxy dy dx
