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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版概 率第三节 几何概型及随机模拟一课标要求：1了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。二命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。预测07年高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。三要点精讲1随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。2随机数的产
2、生方法（1）利用函数计算器可以得到01之间的随机数；（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数。3几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4、几何概型试验的两个基本特征（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性即几何概型的试验结果是无穷多且等可能出现的。4几何概型的概率公式：P（A）=。5几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点
3、落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积四典例解析1、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于或等于a的概率为A、 B、 C、 D、解：答案：；由由题意可得正方形的体积为a3，与点A距离
4、等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为=，则点P到点A的距离小于等于a的概率为：=，。2、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为解：答案：；如图所示，劣弧=1，劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=，。3、在区间，上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为A、 B、 C、 D、解：答案：；0cosx，当x，时，x（，）（ ，），此区间的长度为，在区间，上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为P=。4、在正方形ABCD内任取一点P，则使APB90的概率是（）ABCD解：答案：选C；如图，设正方形的边长为a：图中白色区
5、域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，APB90；当P落在半圆上时，APB=90；当P落在半圆外时，APB90；故使APB90的概率P=1，。5、如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A7.68B16.32C17.32D8.68解：答案：选B；黄豆落在椭圆外的概率为：，即：解得：S=16.326、（2011广州二模）在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（）ABCD解：答案：选A；区间（0，1）内任取两个实数计为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，其中满足两个
6、实数的和大于，即x+y的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=1，阴影部分面积S阴影=1=，两个实数的和大于的概率P=7、已知函数f（x）=x2+bx+c，其中0b4，0c4记函数满足的事件为A，则事件A的概率为（）ABCD解：答案：选A；f（x）=x2+bx+c，不等式，即，以b为横坐标、c为纵坐标建立直角坐标系，将不等式组和对应的平面区域作出，如图所示不等式组对应图中的正方形ODEF，其中D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=44=16不等式组对应图中的四边形OHGF，可得S四边形OHGF=S正方形ODEFSDHGSEFG=1624=10事
7、件A=，事件A发生的概率为P（A）=8、假设某人定了鲜奶，送奶工可能在早上6：307：30之间把鲜奶送到他家，他离开家去上学的时间是6：157：00之间，设送奶工到达他家的时间是x，他离开家的时间是y用数对（x，y）表示可能的试验结果，则全部事件组成的集合=（x，y）|6.5x7.5，6.25y7（1）用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件A；（2）他能在离家前喝到鲜奶的概率是多少？解：（1）他能在离家前喝到鲜奶的事件，他离开家的时间在送奶工到达他家的时间前，即yx用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件A为：A=（x，y）|yx，6.5x7.5，6.25y7（2）如图，表示的平面区域的面积S=10
8、.75=0.75A表示的平面区域的面积SA=答：他能在离家前喝到鲜奶的概率是9、甲乙两人约定某天在7：008：00之间到达约定地点，假定每人在这段时间内随机到达，先到的等20分钟后便可以离开，则两人能会面的概率为解：答案：；由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是=（x，y）|7x8，7y8事件对应的集合表示的面积是s=1，满足条件的事件是A=（x，y）|7x8，7y8，|xy|，事件对应的集合表示的面积是1=，根据几何概型概率公式得到P=。注：“约会问题”是“二维几何概型”的母题，几乎所有的二维几何概型都由此问题变化而得到，解决的方法就是将两个不同变量转为在x轴和y轴上变化而得，而事
9、件发生区域也可由x，y的不等式组取得。10、如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：先产生两组01的均匀随机数，a=rand （），b=rand （）；做变换，令x=2a，y=2b；（3）产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为 解：答案：1.328；根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是 ，矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s，则有 ，s=1.328。11、在ABC内部随机取一点P，则事件“PBC的面积不大于ABC面积的”的概率是（
10、）ABCD解：答案：选C；作出ABC的高AO，当“PBC的面积等于ABC面积的”时，此时OP=，要使“PBC的面积不大于ABC面积的”，则P位于阴影部分，则AEF的面积S1=，则阴影部分的面积为，则根据几何概型的概率公式可得“PBC的面积小于”的概率为，12、在区间（0，1）上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程有实根的概率。解：试验包含的所有事件是=（m，n）|0m1，0n1事件对应的集合表示的面积是s=1，满足条件的事件是，表示的区域与正方形的面积之比是所求的概率。13、在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AMAC的概率为解：答案为：
11、；在AB上取AC=AC，则记A=在ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AMAC，则所有可能结果的区域为ACB，事件A构成的区域为ACC又ACB=90，ACC=67.5注：本题若改为：“在等腰直角三角形ABC中，在AB上找一点M，则AMAC的概率为”解：则等可能性应从线段比考虑，则。15、有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升的水，求这杯水中含有这个细菌的概率。解：（体积之比）16、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内任取一点M，试求使点M到底面的距离小于的概率。解：在SA，SB，SC上取中点，则点M位于面ABC和面之间时，则点M到底面
12、的距离小于，设，则，所以17、利用随机模拟方法计算与围成的面积时，利用计算器产生两组区间的均匀随机数，然后进行平移与伸缩变换，（1）试作出所有可能的点所在平面内的区域（2）试验进行100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为64，已知最后两次试验的随机数，及，计算本次模拟得出的面积。解：（1）由，及，得，于是得到矩形面积区域，作图略（2），时，a=1.2，b=1.2，又，所以点不在与围成的区域内，时，a=-0.4，b=1.6，又，所以点在与围成的区域内，从而100次试验中，样本点落在所求面积区域内的样本点有65个，及所求区域的面积为S，则。注：（1）两个变量将区间内的随机数分别转化为区
13、间与上的均匀随机数。（2）本题（2）问是统计100次中的点数，前98次中已有64个点，最后两次中还有一个点满足，所以一共有65个点在区域内。18、从中任取一个数x，从中任取一个数y，则使的概率为 解：答案：；因，所以，所以，令，使的概率题型1：线长问题例1一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M
14、、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。解：P（T）=3/5。例2（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？解析：将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线
