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1、切线长定理与三角形的内心1. 切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。2. 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言：PA、PB分别切O于A、B，PA PB，12。说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。 （2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。3
2、. 三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。说明：三角形的内心一定在三角形的内部；三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4. 切线长定理的基本图形研究如图，P是O外一点，PA、PB是O的两条切线，直线OP交O于D、E，交弦AB于C，则：由切线长定理得：PAPB由等腰三角形三线合一性质得：PCAB，ACBC由垂径定理得：；ADBD由切线性质定理得：OAAP，OBBP1234，5678由AD、BD分别平分PAB和PBA得点D为ABP的内心。例题 如图
3、，RtABC的内切圆O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点作O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（ ）A. r B. C. 2r D. 解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知 ，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。解：连接OD、OE，的内切圆，ODAB，OEBC。又的切线，且、是切点，MDMP，同理可得。BDBE2r。选C。答案：C点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径（a、b是
4、直角边，是斜边）。利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练 已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B。（）如图，若BAC25，求AMB的大小；（）如图，过点B作于点E，交O于点D，若BDMA，求AMB的大小。图图解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，BAC25，易算MAB，再由切线长定理，可得MAMB，则MBAMAB得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由，可得BAADBD，可得BAD为等边三角形，从而可得AMB60。答案：解：（）MA切O于点A，有。又B
5、AC25，。MA、MB分别切O于点、B。MAMB，有，。（）如图，连接AD、AB。 ，又，BDMA。又BDMA。 四边形MADB是平行四边形。MAMB，四边形MADB是菱形，有ADBD。又AC为直径，得，有ABAD。是等边三角形，有。在菱形MADB中，AMB。点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的快速解决。（答题时间：30分钟）1. 一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为25 cm，MPN60，则OP（ ）A. 50 cm B. 25cm C. cm D. 50cm2. 如图，O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交于点E、
6、F，则（ ）A. EFAEBF B. EFAEBF C. EFAEBF D. EFAEBF 3. 如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切于A、B两点，CD切于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：； ；。其中正确的结论有（ ）A. B. C. D. 4. （武汉中考）如图，A与B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若CED，ECD，B的半径为R，则的长度是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，若P46，则BAC 。6. 如图，O的外切梯形ABCD中，若，那么的度数为 。7
7、. 如图，O是四边形ABCD的内切圆， E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若A50，则EPH 。 8.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，则扇形的周长为。9. 如图，AB是O的直径，AM、BN分别与O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分ADC。（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD4，BC9，求O的半径R。10. 如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：ODBE；（2）如果OD6cm，OC8cm，求CD的长。11.（雅安中考）如图，AB是O的直径，BC为O的切
8、线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA 的延长线于点E。（1）求证：CD为O的切线；（2）若BD的弦心距OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积。（结果保留）1. A 解析：由切线长定理知：OPNMPN30，所以在RtOPN中，OP2ON50 cm，故选A。2. C 解析：如下图，连接OA、OB，则OA、OB分别是CAB与CBA的平分线，则EAOOAB，又EFAB，则EOAOABEAO，则EAEO，同理可求出：FOFB，则EFAEFB；3. A 解析：如图，连接OE，中结论可由切线性质及切线长定理可得OECD，12，34，所以2390，可证OEDCOD，得；根据切线长定理可得ADDE，B
9、CCE，所以，中结论不正确，中高应该是AB，而不是OA。故选A。4. B 解析：由切线长定理，知：PEPDPC，设PECz，所以，PEDPDE（xz），PCEPECz，PDCPCD（yz），DPE（1802x2z），DPC（1802y2z），在PEC中，2z（1802x2z）（1802y2z）180，化简，得：z（90xy），在四边形PEBD中，EBD（180DPE）180（1802x2z）（2x2z）（2x1802x2y）（1802y），所以，弧DE的长为：，故选B。5. 23 解析：由PA、PB是O是切线，PAPB，又P46，PABPBA67，又PA是O是切线，AO为半径，OAAP，OAP
10、90，BACOAPPAB906723。 6. 90 解析：若 ADCDCB180 又DA、DC与O相切，ODCOCD（ADCDCB） 90，90。7. 65 解析：连接OH、OE，因为O是四边形ABCD的内切圆，所以OHAD，OEAB，而A50，所以HOE130，所以EPHHOE65。8. 6 解析：如图所示：设O与扇形相切于点A、B，则CAO90，ACB30，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60的扇形，AO1，CO2AO2，BC213，扇形的弧长为：，则扇形的周长为：336。9. 解析：（1）证明：过点O作OECD于点E。AM且O于点A，OAAD。又DO平分ADC，OEOA。又OA是O的半径
11、。CD是O的切线。（2）解：过点D作DFBC于点F。（如上图）AM、BN分别切O于点A、B，ABAD，ABBC，四边形ABFD是矩形。ADBF，ABDF。又AD4，BC9。FC945。又AM、BN、DC分别切O于点A、B、E。DADE，CBCE，DCADBC4913。在RtDFC中，DC2DF2FC2。DF12。AB12。O的半径R是6。10. 解析：（1）证明：连接OE，AD和DE是O的两条切线，AOD EODAOE，弧AE所对的圆心角是AOE，弧AE所对的圆周角是ABE，ABEAOE，AOD ABE，ODBE。（2）如下图，BC和CE是O的两条切线，CECB，点C是线段BE垂直平分线上的一点，又OBOE，点O是线段BE垂直平分线上的一点，线段OC是线段BE的垂直平分线，OCBE，ODBE；OCOD在RtOCD中，OD6cm，OC8cm，根据勾股定理，得CD10 cm。11. 解析：（1） 证明：连接OD，BC是O的切线，ABC 90，CDCB，CBDCDB，OBOD，OBDODB，ODC ABC90，CD是O的切线。（2）在RtOBF中，ABD30，OF1，BOF60，OB2，BF，OFBD，BD2BF2，BOD2BOF120，S阴S扇 形 BOD S BOD
