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1、相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1 .如图，在RtABC中，/ACB=90,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1/AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHIAB于H,过点E作EFAC交射线BB1于F,G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；(2)当4口6与4ACB相似时，求t的值.2 .如图，在AB阱，/ABC=90,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点
2、出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求CPQ勺面积；求CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式；(2)在P,Q移动的过程中，当CPQ等腰三角形时，求出t的值.3 .如图1,在RtABC中，/ACB=90,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分/CDB交边BC于点E,EMBD,垂足为M,ENICD,垂足为N.(1)当AD=CD时，求证：DE/AC;(2)探究：AD为何值时，BMEKCNE相似？4 .如图所示，在ABC,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点
3、运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时，PQ/BC?(2)APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由.5 .如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0Vtv6)。(1)当t为何值时，QA的等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC似？为等腰直角三角形，求线段二、构造相似辅助线一一双垂直模型6 .
4、在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45求这个正比例函数的表达式.7.在ABC中，AB=*也,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作ABD,使ABDCD的长.8 .在ABC中，AC=BC,/ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上白P点.求证：MC:NC=AP:PB.9 .如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为（）A.10.已知,如图,直线y=-2
5、x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,于F。求证:AD=AC , BC边上的中线 AE交CD13在梯形 ABCD中,AB/ CD, AB = b, CD=a, E 为 AD 边上的任意一点,EF / AB,在F交BC于点使得矩形的两边之比为1：2。求C、D两点的坐标。三、构造相似辅助线一一A、X字型11 .如图：ABC中，D是AB上一点,12 .四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分/DAR求证:EF=a + 2b3F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：当77T时，EF=不；（2）当后=2时,DE入5+动,DE.,“4，一当益二3时,EE
6、.当布“时,参照上述研究结论,请你猜想用和k表示EF的一般结论，并给出证明.14 .已知：如图，在ABC,M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC。求BN:NQ:QM.15 .证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的三.（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.四、相似类定值问题16.如图，在等边ABC, M、一点，BD、CD的延长线分别交N分别是边AB,AC的中点，D为MN上任意113+=.CE BFAC、AB于点E、F.求证:17.已知：如图，梯形ABCD中，AB/D
7、C,对角线AC、BD交于。，过。作EF/AB分另交AD、BC于E、F。求证:11_1ABCDSOEFGH的四个顶点分别在ABC。a.求证： 十AC18 .如图，在ABOK已知CD为边AB上的高，正方形求证：-1ABCDEF19 .已知，在ABW作内接菱形CDEF,设菱形的边长为ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交皿匚Q于点火T.求证：；,(2)如图2,图3,当点F在平行四边形ABCD的对角线E1或工8的延长线上时，#2，F7?=FS，FT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；21.已知：如图，ABC, A
8、B = AC, AD 是中线,P是AD上一点，过C作CF/ AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2=PEPF.22 .如图，已知AABC中，AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH23 .已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:PE _PH24 .已知，如图，锐角ABCADBC于D,H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P,且/BPE直角.求证：PD2=AD-DH六、相似之等积式类型综合25 .已知如
9、图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：上二二F二上二二F26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHIBM且与AC的延长线交于点E.求证：(1)AEgCBM(2)AE-CM=AC-CD27 .如图，ABO直角三角形，/ACB=90,CDABD,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：百口？二斤5.FC.(2)若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗？并说明理由.28 .如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点 N.求证：.29 .如图，BD、C
10、E分别是ABC的两边上的高，过D作DG!BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：(1)DG2=BG-CG;(2)BGCGGF-GH七、相似基本模型应用30 .ABC和DEF是两个等腰直角三角形，/A=/D=90,DE频点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：BEWCNE;(2)如图2,将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.31 .如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
11、(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP:PQ:QR.乂再j4P32 .如图，在ABGKADBC于D,DE，AB于E,DF，AC于F。求证：-AFAB答案：1.答案：解：（1）.一/AB=5又AD=AB,AD=5tt=1,此时CE=3,ACB=90 , AC=3 , BC=40三 t三时，DE=3t+3-5t=3-2t2DE=3+3-5=1如图当点D在点E左侧，即:若即：DEG与ACB相似,DESACB,此时有两种情况：些二段AC83-2i2a，求得:DEEG*DESBCA,此时5cCA即:3-2V，一_，一3一如图，当点D在点E右侧,即：t时,DE=5t-(3t+3)=
12、2t-3DE AC =,9-4 ； DE若DEG与ACB相似，有两种情况：DE8ACB,此时2i-32即：二=三,求得：EG3 4CA，BC17t=.DE8BCA,此时即：匕上二上,求得：4 36,_31917综上，t的值为一或一或一或一.46463.答案：解：(1)证明：.AD=CDA=ZACDDE平分ZCDB交边BC于点E/CDE=ZBDE.一/CDBACDB的一个外角/CDB=ZA+ZACD=2/ACD./CDB=ZCDE+ZBDE=2/CDE/ACD=ZCDEDE/AC(2)/NCE=ZMBEEMBD,ENICD,.BM&CNE,如图/NCE=ZMBEBD=CD又/NCE+ZACD=Z
13、MBE+ZA=90./ACD=/AAD=CD1-AD=BD=-AB2.在RtABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8AB=10AD=5/NCE=ZMEBEMILBD,ENICD,.BM&ENC,如图ADMBNNNCE=ZMEBEM/CDCDAB .在RtABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8AB=10 ./A=ZA,/ADC=ZACB .ACDABCADjC一ACAB5AC2#18,-一ABW5综上：AD=5或时，BMEACNE相似.4.答案：解（1）由题意：AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,AP_AQ4/_30-3汽当pq/bc时，必r,即：0io=解得：-40（2）能，AP=9cm或AP=20cm用户AQ30-3a=4APgCBQ则磔CQ,即203K解得：五=5或冗二10（舍）此时：AP=二-cmAPAQ4130-=,APgCQB则CS,即3x2010升=解得：9（符合题意）40此时：AP=cm40故AP=cm或20cm时，APQ与CQB能相似.5.答案：解：设运动时间为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.（1）若QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP,即：6-
