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1、专题10 立体几何一基础题组1.【2005天津，文5】设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （ ）（A） （B）（C） (D) 【答案】D2.【2005天津，文13】如图，则异面直线与 所成的角的正切值等于 【答案】【解析】将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小。本题答案填写：3.【2006天津，文7】若为一条直线，、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：其中正确的命题有( )（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答案】C4.【2006天津，文13】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点C1到直线的距离为 。【答案】【解析】如图，在正三棱柱中，若二面
2、角的大小为，过C作CDAB，D为垂足，连接C1D，则C1DAB，C1DC=60，CD=，则C1D=，所以点C1到直线的距离为。5.【2007天津，文6】设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A若与所成的角相等，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b，但得不到ab，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面AC为，满足选项C的条件却得不到，不正确；D、a，a或a又bab故选D6.【2007天津，文13】一个长方体的各顶点
3、均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为 【答案】7.【2008天津，文5】设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】选C，A、B、D的反例如图 8.【2008天津，文13】若一个球的体积为，则它的表面积为_【答案】【解析】由得，所以9.【2009天津，文12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是,则a_.【答案】【解析】由三视图可知几何体是一个三棱柱,其底面三角形的一边长为2,其边上的高为a,依题.10.【2010天津，文12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_【答案】3【解析】 11.【2011
4、天津，文10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.12.【2012天津，文10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3【答案】3013.【2013天津，文10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_【答案】【解析】由题意知，.设正方体的棱长为a，则2R，a，所以正方体的棱长为.14.【2014天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .【答案】【解析】考点：三视图15.【2016高考天津文数】将
5、一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选B.【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据16. 【2017津,文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【答案】【考点】球的体积【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或
6、体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心二能力题组1.【2005天津，文19】如图，在斜三棱柱中，侧面与底面所成的二面角为，分别是棱的中点 （I）求与底面所成的角； （II）证明； （III）求经过四点的球的体积【答案】（）；（）详见解析；（）【解析】因为，所以为的平分线又因为，所以，且为的中点因此，由三垂线定理因为，且，所以，于
7、是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得所以，与底面所成的角度为又因为平面，所以是的外心设球心为，则必在上，且在Rt中，球的体积2.【2006天津，文19】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱（I）证明平面（II）设证明平面【答案】（I）详见解析，（II）详见解析【解析】（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面3.【2007天津，文19】如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）求和平面所成的角的大小；（）证明平面；（）求二面角的大小【答案】（）；（）详见解析；（
8、）【解析】（）解：在四棱锥中，因底面，平面，故又，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角是的中点，综上得平面（）解：过点作，垂足为，连结由（）知，平面，在平面内的射影是，则在中，所以二面角的大小4.【2008天津，文19】如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小【答案】（I）详见解析，（II）,（）【解析】（）证明：在中，由题设，可得，于是在矩形中，又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为于是在中，所以二
9、面角的大小为5.【2009天津，文19】如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ADCD,DB平分ADC,E为PC的中点,ADCD1,.(1)证明PA平面BDE;(2)证明AC平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值. 本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）【解析】(1)证明:设ACBDH,连结EH.在ADC中,因为ADCD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE,所以PA平面BDE
10、.6.【2010天津，文19】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD平面ABF；(3)求二面角B-EF-A的正切值【答案】(1) ， (2)详见解析， (3) .【解析】 (1)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.CED为异面直线CE与AF所成的角 (3)解：由(2)及已知，可得AG，即G为AD的中点取EF的中点N，连结GN，则GNEF.因为BCAD，所以BCEF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角B-EF-A的平面角连结GM，可得AD平面
11、GNM，故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM.由NGFA，FAGM，得NGGM.在RtNGM中，tanGNM所以二面角B-EF-A的正切值为. 三拔高题组1.【2011天津，文17】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AD=AC=1,O为AC的中点,PO平面ABCD,PO=2,为PD的中点.()证明PB平面;()证明AD平面PAC; ()求直线与平面ABCD所成角的正切值.【答案】(1)详见解析，（2）详见解析，（3）【解析】面ABCD所成角的正切值为.【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和
12、推理论证能力.2.【2012天津，文17】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PD=CD=2(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值【答案】（）2；（）详见解析；（）【解析】解：(1)如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC且ADBC又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2在RtPCB中，在RtPEB中，所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3.【2013天津，文17】如图，三棱柱AB
13、CA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明EF平面A1CD；(2)证明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）【解析】(1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE且DEAC，又因为F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.故BG平面A1CD.由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.4.【2014天津，文17】如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B为，证明：平面PBC平面ABCD求直线EF与平面PB
