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1、线性空间与线性变换总结线性空间(向量空间)定义：设集合V尹f, F是一个数域，在V上定义加法与数乘：若 对任意a e V, b e V, 有 a+b e ;若对任意a e V, l e F, 有 la e V;则称集合V为数域F上的线性空间。在这么个空间内存在无数个向量，我们希望有限的向量刻画整个V,描述V内的所有 向量。这里有限的向量构成一个向量组，用左a + k a +. + k a表示向量组的一个线性1 12 2m m组合，k, k，,k称为该线性组合的系数。如果存在一组数人，人，,人 使 12 m12 mb = a+a +. +入a，则称b能由向量组线性表示。若给定n维向量组A：a1,
2、 a2,“, 1122mmam,如果存在不全为零的一组数X1, X 2,.,X m ,使得X1 al +X 2 a2 +X mam= 0,则称 向量组A线性相关，否则称向量组A线性无关.如 何 判 定 线 性 相 关： 展隹应aa2, 量a (m 3)线. 性 必 要定理1：齐次线性方程组xa + x a +. + x a = 0有非零解。1122mm定理2: A所构成的矩阵A=(aa2,.,am)的秩小于向量个数m定理3： A:aa2,.,a中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 此外还有一个关于线性无关的定理：定理4：设aa2,.,侦皿线性无关，如果向量组aa2,.,a皿p线性相关
3、，则向量3能由a,a2,.,am线性表示，并且唯一向量组等价：设有两个展隹向量组A: a ,a ,.,a 及 B: P , P，P . 12 m12 s若8组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。用矩阵表示向量组设矩阵A与8行等价，即矩阵A经初等行变换变瘫，故存在可逆矩阵Hs.t.B = PA.由定理4知，B的行向量组能由人的行向量组线性表示又因为人与8行等价，故由初等变换可逆性可知，存在可逆矩阵0 s.t., A = QB故由定理4知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示.于是人的行向量组与8的行向量
4、组等价线性相关性的判别定理：1. 若 a1,a2,.,am 线性相关，则 a1,a2,.,am , am+1 也线性相关.。若 a1,a2,.,am ,am+1 线 性无关，则a1,a2,.,am,也线性无关.2. 设有两个向量组 A： aj =(a1j , a2j ,., arj )T，j = l,2,.,m；B： b j =(a1j, a2j ,., arj , ar+1j )T，j = l,2,.,m；即b j是由a j加上一个分量而得.若向量组A线性无关，则向量组B也 线性无关.3. m个n维向量构成的向量组，若维数n向量个数m时,必线性相关.4. 设A: a1,a2,.am线性无关，
5、而B: a1,a2,.am, b线性相关，则b能由a1,a2,.am线性 表示，且表式唯一线性空间中基与维:定义1, 向童空r可的基与维数V是个面皇室I、可，设,口2,u V,i)ii) X/ p V,3=cck2cc2+., kr R,贝U称。1，工2，.一为向皇空I可的一组基。称数r为向量空I可V 的维数，辛己做dimV.此外我们知道，在一个大向量空间内存在着一系列小的子向量空间。W是V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件为Va，b e W， Vk F,有k a+ b e W。已知：若向量组以,以2,，气是向量空间的一组基，则可表示为V =乙(,.以)=x = ka + k a hfk
6、 a k，,k e112 2r r 1rr由 V 中任意 m 个向量P1, %,P所生成的子空间为V = L(P ,.,P )=人。+人。+ + 人 P 人,人，,人 e r11 m112 2m m 12 m定义1:由向量组al,., am所生成向量子空间L(al,., am)的维数称为向量组al,., am的秩，记为 r(al,., am ).定义2：设有向量组A： al,.,ar,.,am,如果(i) 在A中有r个向量al,., ar线性无关；(ii) 任意r+1个向量都线性相关，那么称向量组A的秩为数r.且al,., ar称为A的一个极大(线性)无关组。一个向量组的一个部分组称为一个极大
7、(线性)无关组，如果它是线性无关的，但再任意添一个 向量(如果还有的话)所得向量组线性相关.矩阵秩与行列的关系：矩阵的秩=矩阵行秩=矩阵列秩值得注意的是：初等行(列)变换不改变矩阵人的列(行)向量组的线性关系欧式空间：内积：令 (x, y) = xTy = x y + x y +. + x y 1 12 2n n称(x, y )为向量x与y的内积。内积的运算性质：1对称性2.线性性3.正定性正交概念：当(x, y)=。时,称向量尤与) 正交若一组非零向量两两正交，则称这组向量是正交向量组正交向量组的性质：定理1若n维向量a ,a，,a是两两两交的的非零向，则a ,a，,a线性无关12 r12 r向量空间的正交基：若*,气,.。是向量空间V的一个基，且a；a2,.,a是两两正交的非零向量组，则称% a 2，：, a是向量空间V的一个正交基.正交矩阵：若n阶方阵A满足AM = E即冬1 = At )则 称为正交矩阵.正交矩阵特点：1.若4为正交矩阵，IA1= 1(或-1)。2.若4和8都是正交阵，则A8也是正交阵。A为正交矩阵的充要条件是A的行(列)向量都是单位向量且两两正交
