常微分复习资料

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1、第二章 复习参考题求下列方程的通解1. 2. 3. 4. 5. 解答:1. 解： 得到 即 另外也是方程的解。2. 解：令,则即, 得到 故, 即 另外也是方程的解。3. 解：原方程可改写为: 令 ,则 即故方程的解为 4. 解： 令，则 ，那么即两边积分得即为方程的解。5. 解 令，则由方程得 。 两边对求导得 即 。 解得 这里 是任意常数。 因此，方程的通解表成参数形式：第二章 复习思考题及答案1 求解齐次方程 解: 令 ，得变量分离方程 ，通解为 ，；还有特解 , 它不包括在通解内，而是对应于 的解顺带指出，由于积分曲线 上每一点都与通解中的一条积分曲线相切，我们可以将所得的解连续可微

2、地“拼接”成定义域在 上另两类解族：(1) ，当 时；，当 时(2) ，当 时；，当 时类似地可以连续可微地“拼接”成定义域在 上的两类解族（留作练习）由此可见，在特解 的积分曲线上每一点有方程的不止一条积分曲线与之相切具有这种性质的特解称为奇解 (singular solution)2试用极坐标变换 ，求解线性分式方程：（写成定积分形式的解即可）答案：，其中3试导出伯努利方程的通解公式答案： .4. 试讨论用取 求解全微分方程的方法. 并用 方程加以验证. 解答：设 ，其中 为一个待定的 x 的可微函数(它也可认为是对等式 的两边, 把 x 看成参数, 对 y 进行积分而得). 为求 , 对

3、上式关于 x 求导，并利用 得,从而.上式右端实际上与 y 无关, 将其关于 x 积分一次即得 .对方程.设通解为，, 取 , 得, 从而得方程的积分: .5求线性方程和伯努利方程的积分因子.解答：将线性方程写成,则有仅与 t 有关的积分因子 将伯努利方程写成,则有积分因子6为什么可以说积分因子法是变量分离法的推广？解答：因为将变量分离方程 写成 , 它有积分因子 .7积分因子是否唯一？解答：不是。例如，考虑方程，显然它不是全微分方程。但是，因为 所以，都是此方程的积分因子。一般地，设是方程的一个积分因子，于是存在二元函数，有。现对于的任一连续函数，由于其中是的一个原函数，可见也是方程的积分因

4、子，因而方程有无穷多个积分因子。例1 求解方程 。 解 这里方程不是恰当方程。 将方程改写为 ，则左端有积分因子或 ，但考虑到右端只与 有关，故取为方程的积分因子，由此得到 ,因此,通解为即 这里是任意常数。 此外， 易见也是原方程的解。 2. 若方程能就（或）解出或，则令后，把问题化为求解关于与（或）之间的一阶方程： (.3)或 (.10) 若按2.12.3介绍的方法求得方程(.3)或(2.4.1.10)的通解为 或 则它与 或 一起构成原方程的通解的参数形式为 或 。 例2 求方程的解。 解 令，则 (.4) 解出 得两端对求导数并以 代替 ，得到 即或。由 解得 这里是任意常数。因此，原

5、方程的通解为 这里为任意常数。 由 直接推得 也是方程的解。 3. 若方程不能就 ， 或解出，对于形如 或的方程，可按介绍介绍的方法处理：引入参数,将方程表示为参数形式，再注意到关系式，就将问题转化为求解关于（或）与的一阶方程，且其导数（或）已表示为的已知函数，最后的工作就是求积分问题。 例3 求解方程（这里）。 解 令，则由方程得 。于是 , 积分之，得到这里 是任意常数。 因此，方程的通解表成参数形式： 。 例4 求解方程（这里） 。 解 令，则由方程得 。 两边对求导得 即 。 解得 这里 是任意常数。 因此，方程的通解表成参数形式： 。 所有上列情形都归结到形如 或 的方程的求解问题。

6、在2.12.3里，我们主要介绍了五种类型的方程（变量分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程及恰当方程）的初等解法。实际上作为基础的不外是变量分离方程和恰当方程，其他类型的方程均可借助变量变换或积分因子化为这两种类型的方程，这可简略地表示如下图。 判断题型的顺序为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可积类型。在判断题型时，经验告诉我们，可以按如下顺序判断，即： 阶显次 即 线性方程 伯努利方程 显式方程 齐次方程 一阶方程 非线性方程 变量可分离方程 阶 隐式方程 全微分方程 高阶方程 （积分因子） 判断顺序，由左向右，通常积分

7、因子在最后加以考虑。熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这自然是最基本的要求，但仅仅能做到这一点还不够，因为我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍的那几种方程类型，因此还要求注意学习解题的技巧，从中总结经验，培养自己的机智和灵活性；还有一点也很重要，就是要善于根据方程的特点，引进适宜的变换,将方程化为能求解的新类型，从而求解。 例5 求方程的解。 解 方程可变为 。这是一个线性方程。所以 这里 是任意常数。 例6 求方程的解。 解 这是 的伯努利方程。故可令 则 代入原方程得 这是一个线性方程。解得 从而 这里 是任意常数。 此外，易

8、见也是原方程的解。 最后，我们要强调指出：能有初等解法的微分方程是很有限的，例如形式很简单的黎卡提（Riccati）方程： 一般就没有初等解法（当然，若我们有办法找到方程的一个特解，则经变换后，方程就变为伯努利方程，因而可解）。这一事实为法国数学家刘维尔（Liouvile）在1841年所证明，这就迫使人们放弃将主要注意力放在寻求各种微分方程的通解的原有想法，微分方程研究的主要目标和主要方法从此逐渐开始转移。 一、填空题1方程的所有常数解是（ ）.2若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为（ ）.3.若方程M(x, y)dx + N(x, y

9、)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是（ ）.4.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是（ ）.5. 当（ ）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为（ ）.二、单选题1方程是（ ）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程2方程，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解3方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）.(A)y=1, x=1, (B) y=1(C) x=1 (D) y=1, x=14若函数y(x)满足方程，且在x=1时，

10、y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e参考答案 一、填空题 1 23 45. , , 或； 二、单选题 1B 2C 3A 4B 第三章第三章选做作业一、填空题1. 若在(-，+)上连续，则方程的任一非零解( )与x轴相交.2. 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（ ）3. 连续是保证方程初值解唯一的( )条件.4. 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 5.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 6.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件8.方程的奇解是 二、单选题1.方程过点(0，0)的解为，

11、此解的存在区间是( ).（A）（，） （B）（C）（，0） （D）0，2.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是( ).(A)全平面； (B)y0的上半平面；(C)y0的下半平面； (D)除去x轴的全平面.3.方程是否存在奇解( ).(A)无奇解； (B)有奇解；(C)不一定； (D)可能有奇解.4.函数对是否满足李普希兹条件( ).(A)不满足； (B)满足.(C)可能满足； (D)可能不满足5.如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ） （A）将因解而定 （B）必为 （C）必为 （D）必为参考答案： 一、填空题 1.不能 2.满足的平面区域3.充分 4.，（或不含x 轴的上半平

12、面）5.平面 6.平面 7. 充分 8. 二、单选题 1B 2D 3A 4B 5A填空题第7小题解答我们可举反例,如:方程 (1) 的右端在包含的任何区域不满足利普希茨条件，当然在也不存在微商，但是(1)有通解(2) 及特解（对应于）。 对于的任何有限值，曲线(2)都不与相遇。因此，对轴上的点，仍只有唯一的积分线经过此点。由此可见，利普希茨条件并非唯一性的必要条件。第三章 典型例题分析例1 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一？（1） （2）（3） （4）解:（1） 方程在平面上初值解存在且唯一（2） 方程在平面上初值解存在且唯一（3） 方程在的平面上初值解存在且唯一（4）， 方程在的平面上