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1、1.如图，已知抛物线 y x2 1与x轴交于A B两点，与y轴交于点C.（1 ）求A B、C三点的坐标；（2）过点A作AP/ CB交抛物线于点P,求四边形 ACBP勺面积；（3） 在x轴上方的抛物线上是否存在一点M过M作MG x轴于点G使以A、M G三点为顶点的#点P在抛物线yx21上 a 1 a21解得a12 , a21 （不合题意，舍去）# PE=31111四边形 AC呼的面积 S AB?OC-AB?PE=2 12 3 4 6分2 2 2 2(3).假设存在PAB= BAC= 45o PA AC/ MG x轴于点G,MGA= PAC= 90o在 Rt AOC 中，OA=OC=1 AC= 2
2、在 Rt PAE 中，AE=PE=3 AP= 3_2 8分2设M点的横坐标为 m，贝U M （m, m 1）点M在y轴左侧时，则m 1(i )当 AMGsPCA时，有AG = MGPA CA1 （舍去）m2 2 （舍去）9分3/ AG= m 1 , MG和21即3葺解得g#(ii )当 MAG s PCA时有AG MGCA PAm2 13、2#12分解得：mh1 (舍去)m2 4 - M(4,15)存在点M使以A M G三点为顶点的三角形与PCA相似4 7M点的坐标为(2,3) , (4,7) , (4,15) 13分3 92.如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，/ ACE=90,
3、 AG=BC0A=1,0(=4,抛物线y x2 bx c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D.(1)求b, c的值;(2)点E是直角三角形 ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点 F,当线段EF的长度最大时，求点 E的坐标;T(3)在(2)的条件下：求以点 E、E、F、D为顶点的四边形的面积； 一点戸，使厶EFP是以EF为直角边的直角三角形 ？若存在，求出所有点 P的坐标#解：(1)由已知得：A (-1, 0)B (4, 5)1分4#解：(1)由已知得：A (-1, 0)B (4, 5)1分二次函数yx2bx c的图像经过点 A (-1 , 0) B(4,5)16
4、 4b c 5解得：b=-2 c=-3(2)如2 6题图：直线 AB经过点A (-1 , 0)B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+1二次函数 y x2 2x 3E(t,t+1),则 F (t, t2 2t 3 )2(t 1) (t 2t 3)(t 3)2 2524325时，EF的最大值=2435点E的坐标为(一，一)2 2(3)如2 6题图：顺次连接点3可求出点F的坐标(，2设点 EF=E、B、F、D得四边形EBFD.15一)，点D的坐标为(1,4-4)S四边行EBFDsVBEFSVDEF2758253(4 -)4225 3(1)4 210分如26题备用图：i)过点E作a丄EF交抛物线于点
5、P,设点P(m, m2则有:m2 2m 3解得：mh226,m2,26P2(2ii)过点F作b丄EF交抛物线于F3，设巳(n.n22n则有：n2 2n 3 字解得：n1(与点F重合,舍去)2 V26 52综上所述：所有点 P的坐标：5(,) , P2(-2 2严)P3( ,2 2 215).能使 EFP组成以EF为直角边的直角三角形.4#3.如图，已知二次函数y x2 bx c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P,顶点为C( 1, 2)(1) 求此函数的关系式；(2) 作点C关于x轴的对称点D,顺次连接 A C、 形ABC酚成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；(3) 在(2)的条件下，
6、抛物线上是否存在一点F, 存在，求出点F的坐标及厶PEF的面积；若不存在，请说B、D.若在抛物线上存在点 E,使直线PE将四边使得明理由PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若(1)t yx2bx c的顶点为C (1, 2),二 y (x 1)22, y x2 2x 1 .(2)设直线PE对应的函数关系式为y kx b由题意，四边形 ACBD是菱形.故直线PE必过菱形ACBD的对称中心 M.由 P(0, 1), M (1 ,1 .从而y x b 0je设 E(X , X1),代入y2x 2x 1，得 x1 x2 2x 1 .解之得冷 0 , X2根据题意，得点E(3, 2)(3)假设存在这样的点
7、F，可设 F(x , x2 2x 1 ).过点F作FG丄y轴，垂足为点 G.在 RtA POM 和 RtA FGP 中，t/ OMP + Z OPM=90 / FPG + Z OPM =90Z OMP = Z FPG，又Z POM = Z PGF , POMFGP. .OM OPGP2齐.又OM=1，OP=1，二GP=GF，即 1 (x2x1)解得x10 , X21，根据题意，得F(1, 2).故点F (1 ,2)即为所求.Sa pefSa mfpSa mfe#4如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标为 Q2, 1 ,且与y轴交于点C 0,3，与x轴交 于A、B两点(点A在
8、点B的右侧)，点P是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A运动(点P与A不重合)，过点P作PD/ y轴，交 AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当厶ADP是直角三角形时，求点 P的坐标;(3)在问题 的结论下，若点 E在x轴上，点F在抛物线上， 行四边形？若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)v抛物线的顶点为 Qy ax 22将C (0, 3)代入上式，得3 a0 222a 1 y x 21,(2)分两种情况： 当点P1为直角顶点时，点P1与点令 y =0,得 x2 4x 30解之得X11, X23t点 A 在点 B 的右边， B(1,0), A(3,0) P
9、1(1,0) 解：当点AAPD2的直角顶点是(如图)t OA=OC,B重合(如图)(5分)/ AOC= 90 ,OAD 2= 45 AO平分/ - P2、D2 关于b当/ D2AP2= 90 时,/ OAP2= 45 , 又t P2D2 / y 轴， P2D2 丄 AO, 设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得D2AP2x轴对称y kx0 3k b1. y7 分)x24x3上,设D2(x,2x 3), P2(X,x4x23). ( x 3)+( x 4x3)=05x 60, X12,X23(舍) .7 x=2 时，yx2 4xP2(2,- 1)(即为抛物线顶点) P 点坐标为 P1(1,0),P2(2, - 1)解：由题知，当点P的坐标为标为P1 (1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2, - 1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形t P(2,-1),可令 F( x,1) x2 4x 31解之得：x12 2,X222 F点有两点，即 F1( 2、2 ,1), F2(2、2 ,1)(13 分)(9分)#
