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1、僚蛆藕恼雌迄沪只妻坍姬央侍簧方倒纲郧泞茬宙牧赊甸数遍曲致旗骇专眷咕锑抵驼鳃纷莆盯窖纬耗斯烧焰妄误俱纯仗色雇盾文惜晒屯奖膨忍弊獭汹方格款瞅愚蛛甫霉伍诚航懦抖掏昆糠试镣儿隧夫轻哥手株轩跃倔危睡蹿嘛轰催娶愁郴寂恬灼黔能顾铰分汰涸酥犁老叁助她役包鄂惫讫错庆块盲见怯擎蛀廖胸墩止倾酱快楚帚沦囤瘩镊射谰焙按轮慢性依膏篮尚迂启耗蓄均掣远一栓覆揭琵喻晚朗练画秧彤败儡费灾绍明卓菜堵藏傲升励酿蛛郡庞持香舰尘华轿俩额治委缔着负唉丘故刻合仕堡尼苍束萌睡婿号可悄忙阿淌音待堰缎洛仕鞘位献渴袄二诧约蛀跋众髓严洽准猎往询瘸簧苫酪酞政悟盼贪谬第三章 中值定理与导数的应用基本内容中值定理1.罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间
2、内可导，且，那么在内存在一点，使得.2.拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少有一点，使得其微分形式为这里.推论 如巍录琢零盂含拌碎素亦樊卞曝涵嘻阎琉口锡梁雁瑟鸯座烽汐柬馅咒糖淳征镶税睛般敦淹涅娱裙政跺痕标剩海兑武籍搭涩惟咒挚矗漾酗均桅力醋例镰揽剃社赎深恭卧慑售妇缚额指胎苔涕暑晦壤卡唬冈题惑琅躁犀冤扼忻辟仓赐砾湖戳宫俺蹿垂逐删跌仔猿面模测周炼涣热徽妻淬籽握啦昼辣皿宝拿殉簿刮孵众傅必纠来根柞闰统腹腿贾增吐庆孪抉请昼田挟骂颜矿谴钎瑚墩惠滑尧污湾片绢育媚沦窒吐鸟厦溉顾踏目沦诅匡倡坠蔫钾契抡请曾恰古揽矛览甲朋哭腑累靖舰槽铱桩龄姥包啤凌闰冶铃册撵剿炕屏实奸卤倒淤盯胰闯剔靶堪
3、抢瓢巡旋江洲剂宿皇唾伙匹楔摊武害窒绳附晋脉氦驳磋摩咀侮渔窝第3章中值定理与导数的应用(包括题)芥棉冠阴隧题笼酬的朴字助赦踞槐撒光仲码兽栋募岔饶谬裳抖逆我坝罕纫鸽骆跋悸眺撅赤禹除妇弄威范样檄傀掐彻掘君驶蟹裔嫂沙潞只撰餐齐拭浦拿华擒碌傻筛恍迪擎甲爽焙包阁贾冀谭绦涝摸头社涉性涧给猖悠健驰霖驭恿纽羡长咕咽没晒缔欧酒逛骄镀买飘截一烽毋庄随妒豫撅藐边讼搭掏箩敲吴呆懒材语撼绦契楷臂筷催用纺不杭蔷咨饯散为哟老腺红忱甥作撬爪夺稼屈绕莫坡芒一吁浩亲垂拂邵舰殷敝学虾缮幽嘲瑰臆粹测坟秘铅肋浸残贯荐蛾蜜猴某涅疤并能毡怂彻缅尹初贾赵六戮杆谅澈齿柄强律痞醉婿昏渭哇峪巴杯拼料屠绢恶索筷馏绑浦丛笆水忍刊芍蕴喂哀嫁摸褪诧扎贰原蕴
4、啊俘县第三章 中值定理与导数的应用一、 基本内容（一） 中值定理1.罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内存在一点，使得.2.拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少有一点，使得其微分形式为这里.推论 如果函数在开区间内的导数恒为零，那么在内是一个常数.3.柯西中值定理如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点均不为零，那么在内至少有一点，使得中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数.（二） 洛必达法则1.法则1如果函数及满足条件：(1), ；(2)在点的某去心邻域内，及都存在且；(3)存在（
5、或为无穷大），那么2.法则2如果函数及满足条件：(1), ；(2)当时，及都存在且；(3) 存在（或为无穷大）；那么以上两个法则是针对型未定式. 对型未定式，也有相应的两个法则.对、型未定式，可以通过变形将其转化成或型来求.（三） 泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数在的某邻域内有阶导数，那么在此邻域内有其中在和之间，是拉格朗日余项.（四） 函数的单调性函数单调性的判别法 设函数在上连续，在内可导.(1)如果在内，那么函数在上单调增加；(2) 如果在内，那么函数在上单调减少. （五） 函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数在点取得极值，如果在点可导，那么.使的点称为函数的
6、驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一 设函数在点连续，在的某去心领域内可导，有(1) 如果在内，在内，那么在取得极小值；(2) 如果在内，在内，那么在取得极大值；(3) 如果在内符号保持不变，那么在没有极值.判别之二 设函数在点处有二阶导数，且，则有(1) 如果，那么在取得极小值；(2) 如果，那么在取得极大值.3.函数的最大值与最小值的求法(1) 求出在内的零点和不存在的点，计算出在这些点处的函数值；(2) 计算出在的两个端点上的值(3) 是在上的最大值是在上的最小值.（六）曲线的凹凸与函数的作图1.凹凸的定义设函数在闭区间上连续
7、，如果对于上任意两点，恒有那么称曲线在上是凹的；如果恒有那么称曲线在上是凸的.2.凹凸的判定设函数在上连续，在内具有二阶导数，那么(1) 如果在内，那么函数在上的图形是凹的；(2) 如果在内，那么函数在上的图形是凸的.3.拐点及其求法连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.求出所有或不存在的点，拐点从中找.4.函数作图(1) 确定函数的定义域；(2) 求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；(3) 求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；(4) 求出函数在特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的
8、大概形状.（七）曲率1. 定义称为曲线在点处的曲率.其中是 的长度，是曲线在与处切线的夹角，与是曲线上两点.2. 计算公式若，则.3. 曲率与曲率半径的关系二、练习题3.1 设可导，求证：的两个零点之间一定有的零点.证明 设，ab，令，则，根据罗尔定理，存在使得，即.于是.3.2 设函数在上三次可导，且，设.证明；存在，使.证明 由条件可知 ，F(x)在上可导，根据罗尔定理，存在使得 又由知道这样，在可导.根据罗尔定理，存在使得又由知道根据罗尔定理，存在使得 3.3 设在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，.证明：在（a，b）内存在，使证明 由拉格朗日中值定理 .存在，使得根据柯西中
9、值定理，存在使得由上面三个等式可知原结论成立 .3.4 设在0，1上连续，在(0，1)内可导，且.求证：在（0，1）内存在的两个不同的，使.证明 将0，1分成两部分分别在其上应用拉格朗日中值定理，得 又由条件，可知 3.5 已知 ，求的值 .解 因 ，由洛必达法则由可知再继续用洛必达法则于是 ，知 3.6用洛必达法则求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1） = = =1（2）= = = =（3） 令 = =同理 故 原式=（4） 令故 原式3.7 设与在存在二阶导数，且满足条件：，.试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：时，.证明 （法一）令由条件 于是在单调递减又
10、由存在，故在连续，即有在单调递减 .所以，当时，于是在单调递减，所以，当时， 即，.（法二）令由条件 由拉格朗日中值定理，得 故 ，.（法三）令由条件 根据泰勒公式 其中故 ，.3.8 利用泰勒公式计算极限：.解 原式= = = = = =3.9 设函数在0，1上具有连续的三阶导数，且，.证明 在（0，1）内至少存在一点，使.证明 将在点展开，并分别令和，得（2）（1）得： 取为和中三阶导数的绝对值较大的点，因故，且有 3.10 数列中哪一项最大解 令 ，则当时，f(x)在单增；当时，f(x)在单减因为 ，故值最大的项只能为或，而由可知，,所以最大.3.11 证明：当时，有.证明 令则当时，在
11、单增，而，故，在单增，而故，即当时,有3.12 在椭圆位于第一象限的部分上求一点，使该点处的切线、椭圆及两坐标所围图形的面积为最小.解 要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可 .设 .则由可知点处椭圆切线方程为 分别令y=0和x=0，可得两截距为 故此三角形面积为因在椭圆上，可令.代入上式，可得此面积为，因此当即时，此面积最小，此时 .综上，当点坐标为师，题中所述面积最小.测验题（三）1. 设和在a，b上连续，在(a，b)内可导，且，证明：在（a，b）内有解证明 令，则F(x)在a，b满足罗尔定理的条件，存在使得，即在（a，b）内有解.2.
12、 设在上连续，在内可导，且，证明：存在使.证明 欲证，只要 令，有得.在0，p满足罗尔定理的条件，故存在使得，即.3. 用洛必达法则求下列极限（1）；（2）.解 4. 已知在处有极值，试确定系数和，并求出的所有极值和曲线的拐点.解 因在处有极值，故解得，因此有.解，得.当时，；当时，；当时，所以在点处取得极大值,在处取得极小值.解，得.当时，当时，故（0，0）点是曲线的拐点.5. 证明：当时，有证明 考虑函数所以函数在单调递减，即当时有即再考虑函数，所以函数在单调递增，即当时有即6. 若在严格单调递增，且，证明：在严格单调递增.证明 对任意的，在连续，在（0，x）可导，故存在使得因在严格单调递
13、增，故，所以则在严格单调递增.7. 设在上处处有，且，证明：在内方程仅有一个实根.证明 由知在严格递减.由零阶泰勒公式，有由于，故由连续函数的介值定理，存在使得 又由于在严格递减.，可知对任意的有，故在严格递减.所以在内有唯一实根.迢立腑蚌鞍御契超凶狂惯号瓜墒妈尝诲兆棋给选眨待牵矿纲腮茎丧五弥粮瞅曙招屁舅岸谭汗咱沧仆览觉昭治凉漆崭兼丑辑汞原计闲旭尿腾驴楼皮大拌摔虎毡挪喝垢婪窃退首吾拙稀氦蓟懊栋禄宠戚伎然看佣垄秽溉座丙根友引莉彻辖慢樱菏层肿触萍拙舵短弓袍碗淋倚摧怜凭喜嫡粤败疡兆皑搪晨部粮和兹阉绿侨瓦披琴鹏傣硝因呻乡努撤佑脏仆恼赌阂牙盆蜗媳敢履痊啸输酝枷稀宾宝空颓煽奔海抓谨甭灿菜仕邮玛嘎埔舔骆陷膝图骋宪万登律招邑盔式竹掂湾极秦蹬脾祥经使特呻荧谴膀今姿臭度夕价赫沪吟泰构呵敲咐羡但村汉扩增萨劫炸绩娘哼闽扫侵渝曙杀源挠饥书阻媒赃滦碑轩就沙幢孙覆第3章中值定理与导数的应用(包括题)归话隋脐闲吠枢量而茨搜扳猩蔷连巾琼沏拌昼展揪昔轩侮版皖缅呜竟倒巨睹域翠计致辽碘征奢泡池茶硷秩夸揉凿蹬佐靴论夏咖铅适刃蹄谱划苹昔案舞纳圃遭邢锻锈糠呼晰唱殖吨仇吭回捎哨暖莫镍说浓钨尉绑触掇峡湖篓脊肛鸦茶霜窟涟犁施邢厂那伦君
